สรุปย่อ สมการเส้นตรง พร้อมแบบฝึกหัด เลข ม.ต้น จะกลายเป็นเรื่องง่าย!

หลังจากที่น้อง ๆ เรียนรู้เรื่องกราฟไปแล้วจะได้รู้เกี่ยวกับองค์ประกอบของกราฟต่าง ๆ ไปแล้วใช่ไหมล่ะคะ วันนี้พี่ ๆ จาก ATHOME อยากพาน้อง ๆ ไปรู้จักกับสมการเส้นตรงที่เป็นสมการที่แสดงออกมาในรูปของกราฟได้ ซึ่งมีความสัมพันธ์กันโดยตรง และช่วยให้เราแก้ระบบสมการสองตัวแปรได้ด้วยน้า ถ้าเริ่มสนใจกันแบบนี้แล้ว ไปดูพร้อมกันเลยดีกว่า

สรุปกฎ-สูตร เรื่อง สมการ เส้นตรง

1. หน้าตาของสมการเชิงเส้นสองตัวแปรที่อยู่ในรูปทั่วไป 

Ax + By + C = 0  เมื่อ A, B, C เป็นค่าคงตัว และ A,B ไม่เท่ากับ 0 พร้อมกัน

2. รู้ได้ยังไงว่า ค่า x และ y คือคำตอบของสมการ

ค่า x และ y ที่ทำให้สมการรูปทั่วไปเป็นจริงนั้น เรียกว่า x,y เป็นคำตอบของสมการ เรียก (x,y) ว่า คู่อันดับของคำตอบของสมการ

3. กราฟของเส้นตรง 2 เส้น มีโอกาสเกิดขึ้นแบบไหนบ้าง

กราฟของเส้นตรง 2 เส้น มีโอกาสเกิดขึ้นได้ 3 กรณี คือ

1. ตัดกัน  

( ใส่รูปที่ 1 )

มี 1 คำตอบ

2. ขนานกัน
   ( ใส่รูปที่ 2 )

ไม่มีคำตอบ

3. ทับกัน
   ( ใส่รูปที่ 3 )

มีหลายคำตอบ

4. สมการอินคอนซีสเทนต์ (Inconsistent Equations)

สมการนี้เขียนกราฟได้ดังข้างล่าง

( ใส่รูปที่ 4 )

ตัวอย่างระบบสมการนี้เช่น

5. สมการไม่อิสระ (Dependent Equations)

สมการนี้เขียนกราฟได้ดังข้างล่าง

( ใส่รูปที่ 5 )

กราฟเป็นเส้นสองเส้นทับกันสนิท

ตัวอย่างระบบสมการนี้ เช่น

คู่อันดับ คือ

คู่อันดับ เป็นการแสดงการจับคู่ของสมาชิก 2 กลุ่ม และใช้สัญลักษณ์ (a,b) แทนคู่อันดับ a และ b

โดยที่   a   แทนสมาชิกตัวหน้า

และ  b  แทนสมาชิกตัวหลัง

ข้อสังเกต   
1. (3,9) อ่านว่า “คู่อันดับสามเก้า” โดย 3 เป็นสมาชิกตัวหน้า 9 เป็นสมาชิกตัวหลัง

2. (a,b) = (c,d) ก็ต่อเมื่อ  a = c และ b = d

---

กราฟของคู่อันดับ คือ

คู่อันดับแต่ละคู่สามารถแทนด้วยจุดแต่ละจุดในระบบแกน X และ แกน y เช่น ตัวอย่างดังรูป

( ใส่รูปที่ 6 )

การสร้างสมการเส้นตรง ทำยังไง

สูตรสมการเส้นตรง  y – y₁  = y2-y1 / x2 -x1 (x-x1)

หรือ y – y₁  = m (x-x1)

ความชันของเส้นตรง คือ 

m = y2-y1 / x2 -x1

ความชัน = 0  →  เส้นตรงทำมุมกับแกน x = 0 องศา

ความชัน > 0  →   เส้นตรงทำมุมกับแกน x เป็นมุมแหลม

ความชัน < 0  →  เส้นตรงทำมุมกับแกน x เป็นมุมป้าน

ลักษณะกราฟตามความชัน

( ใส่รูปที่ 7 )

การสร้างสมการเส้นตรง ทำยังไง

สูตรสมการเส้นตรง        y – y₁  = y2-y1 / x2 -x1 (x-x1)

หรือ y – y₁  = m (x-x1)

วิธีการหาสมการเส้นตรง

( ใส่รูปที่ 8 )

จากนั้น หาจุดตัดแกน y ( c ) ซึ่งในที่นี้เท่ากับ 5 

นำ ความชัน และ จุดตัดแกน y ไปเขียนในสมการเส้นตรง

y = mx + c

จะได้    y = 3x + 5

---

สมการเส้นตรงที่ขนานกัน คือ

สมการเส้นตรงที่ขนานกันนั้น เป็นสมการเส้นตรงที่ความชันเท่ากัน หรือระยะห่างเท่ากันนั่นเอง ถ้าสังเกตสมการง่าย ๆ คือ สมการที่ 1 y = 3x + 4 สมการที่ 2 จะเป็น y = 3x + 9 เป็นต้น

ตัวอย่าง

( ใส่รูปที่ 9 )

สมการเส้นตรงที่ตั้งฉากกัน คือ

สมการเส้นตรงที่ตั้งฉากกัน คือ สมการที่ความชันของเส้นตรงสองเส้นคูณกันเท่ากับ -1 เมื่อมองลักษณะกราฟแล้วจะเห็นว่าทำมุมกัน 90 องศา 

ตัวอย่าง
( ใส่รูปที่ 10 )

สมการเส้นตรงที่ผ่านจุด คือ

คำว่า เส้นตรงนั้น ๆ ผ่านจุดใด ๆ เราสามารถตรวจสอบได้ง่าย ๆ โดยการนำจุดนั้นไปแทนในสมการ 

โจทย์สมการเส้นตรง พร้อมเฉลย

1. จงเขียนสมการเชิงเส้นสองตัวแปรแต่ละข้อต่อไปนี้ ให้อยู่ในรูป Ax + By + c = 0
   พร้อมทั้งระบุค่า A B C

1. 2y = 7x + 9
2. x = 4 – 2y
3. 4x = 5y + 2
4. 9 + y = y – 3x

วิธีทำ     
(1)  2y = 7x + 9 

จากโจทย์       2y = 7x + 9 

นำ -2y มาบวกทั้งสองข้างของสมการ 

จะได้ 0  = 7x – 2y + 9

ดังนั้น  A = 7 B = -2 C = 9

(2)  x = 4 – 2y

จากโจทย์ x = 4 – 2y

นำ 2y บวกทั้งสองข้างของสมการ

จะได้ x + 2y = 4

นำ 4 ลบ ทั้งสองข้างของสมการ 

จะได้  x + 2y – 4 = 0

ดังนั้น   A = 1   B = 2  C = -4

(3)  4x = 5y + 2

จากโจทย์    4x = 5y + 2

นำ -5y บวกทั้งสองข้างของสมการ

จะได้   4x – 5y = 2

นำ -2 บวกทั้งสองข้างของสมการ

จะได้ 4x – 5y -2 = 0 

ดังนั้น  A = 4  B = -5  C = -2

(4)  9 + y = y – 3x

จากโจทย์   9 + y = y – 3x

นำ -y บวกทั้งสองข้างของสมการ

จะได้       9  = -3x

นำ 3x บวกทั้งสองข้างของสมการ 

จะได้     9 + 3x = 0

ดังนั้นจะได้  A = 3   B = 0  C = 9

---

2.   จงหาว่าจุดต่อไปนี้อยู่บนกราฟของสมการ 3x – y -2 = 0 หรือไม่

1. A (-1, -5)
2. B (0, -2)
3. C (1,2)

วิธีทำ  
จากสมการ     3x – y -2 = 0  

สามารถจัดสมการใหม่ได้เป็น y = 3x -2 

1. จุด  A (-1, -5)

จะได้ว่า  x = -1  และ y  = -5

แทนค่า  x = -1  และ y  = -5 ลงในสมการ  y = 3x -2 

เนื่องจาก  y = -5

และ   3x -2  = -5  สมการเป็นจริง 

ดังนั้น จุด (-1, -5) อยู่บนกราฟของสมการ  3x – y -2 = 0

2. จุด  B (0, -2)

จะได้ว่า x = 0  และ y = -2

แทนค่า  x = 0  และ y = -2 ลงในสมการ   y = 3x -2 

เนื่องจาก y = -2

และ 3x – 2  = 3(0) -2

= -2

นั่นคือ  -2 = -2    สมการเป็นจริง

ดังนั้นจุด    (0, -2)  อยู่บนกราฟของสมการ 3x – y -2 = 0

3. จุด  C (1,2)

จะได้ว่า x = 1  และ y =  2

แทนค่า   x = 1  และ y =  2 ลงในสมการ   y = 3x -2 

เนื่องจาก y = 2

และ     3x -2 = 3(1) -2

2 = 1  สมการเป็นเท็จ

ดังนั้นจุด  (1,2)  ไม่อยู่บนกราฟของสมการ   3x – y -2 = 0

---

3. จงหาค่าความชันและจุดตันแกน y ของกราฟของสมการต่อไปนี้ โดยไม่จำเป็นต้องเขียนกราฟ

1. y = x + 12

วิธีทำ   จากสมการเส้นตรง   y = x + 12 หรือ y =1 x + 12

จะได้  a = 1  b = 12

ดังนั้น กราฟของสมการ y = x + 12 มีค่าความชันเท่ากับ 1 และค่าตัดแกน y เท่ากับ 12

2. y = -3x – 5

วิธีทำ จากสมการเส้นตรง  y = -3x – 5 หรือ y = -3x +(- 5)

จะได้  a = -3   b = -5

ดังนั้น กราฟของสมการ   y = -3x – 5 มีความชันเท่ากับ -3 และค่าตัดแกน y เท่ากับ -5

3. y = 5/6x + 4

วิธีทำ จากสมการเส้นตรง   y = 5/6x + 4

จะได้   a = ⅚  b = 4

ดังนั้น กราฟของสมการ  y = 5/6x + 4  มีความชันเท่ากับ ⅚ และค่าตัดแกน y เท่ากับ 4

---

4. จงหาว่าสมการเชิงเส้นสองตัวแปรแต่ละคู่มีกราฟเป็นเส้นตรงที่ขนานกันหรือตัดกัน
โดยไม่ต้องเขียนกราฟ

1. y = 4x + 5  และ -4x  + y = 7

วิธีทำ                           
y = 4x + 5  และ -4x  + y = 7

กำหนดให้ สมการ    y = 4x + 5   มีกราฟเป็นเส้นตรง L1

และสมการ     -4x  + y = 7  เป็นกราฟเป็นเส้นตรง L2

จาก               y = 4x + 5   

จะได้                a₁ = 4

จาก   -4x  + y = 7  จัดรูปสมการใหม่ ได้เป็น y = 4x + 7

จะได้                 a₂ = 4

เนื่องจาก     a₁    =     a₂

ดังนั้น สมการ   y = 4x + 5  และ -4x  + y = 7  เป็นสมการที่ขนานกัน

---

คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

เป็นอย่างไรกันบ้างคะน้อง ๆ ทุกคน เรียนเรื่องสมการเส้นตรงไปแล้ว รู้สึกว่าเข้าใจเรื่องกราฟ ซึ่งเป็นบทเรียนพื้นฐานของเรื่องระบบสมการมากขึ้นหรือยังคะ รู้หรือไม่คะน้อง ๆ ว่านอกจากเราจะเรียนเกี่ยวกับระบบสมการเชิงเส้นและกราฟเพื่อใช้ในการสอบวัดระดับการศึกษาต่าง  ๆ รวมไปถึงเตรียมตัวสอบเข้าโรงเรียนดังแล้วนั้น เนื้อหาบทนี้ยังมีประโยชน์กับการคำนวณในชีวิตประจำวันอีกด้วย ไม่ว่าน้องจะอยากเป็นนักธุรกิจ นักลงทุน พ่อค้า แม่ค้า คุณครู คุณหมอ เรื่องกราฟนี่เกี่ยวข้องกับทุกวิชาชีพเลยจริง ๆ น้า หรือใครที่เป็นเทรดเดอร์อยู่ก็จะรู้เลยว่ากราฟสำคัญมากจริง ๆ จึงอยากขอให้น้อง ๆ ตั้งใจทบทวนบทเรียนเรื่องนี้บ่อย ๆ นะคะ