การหาพื้นที่และปริมาตรของรูปทรงเรขาคณิต เป็นอีกหนึ่งบทสำคัญมาก ๆ สำหรับน้องม.ต้นทุกคน เนื่องจากบทนี้นำไปต่อยอดค่อนข้างเยอะ ที่สำคัญคือเป็นบทหลักที่ออกในข้อสอบเข้าม.4 ของหลาย ๆ โรงเรียน ไม่ว่าจะเป็นโรงเรียนมหิดลวิทยานุสรณ์ โรงเรียนเตรียมอุดม โรงเรียนระดับจังหวัดชื่อดัง รวมไปถึงน้อง ๆ ที่อยากสอบเข้าโรงเรียนเตรียมทหาร นี่ก็เป็นบทเรียนหนึ่งที่น้อง ๆ ไม่สามารถทิ้งได้เลย ถ้าใครรู้สึกว่าเตรียมตัวไม่ทันแล้ว ให้สรุปของพี่ ๆ เป็นตัวช่วยนะคะ
ปริมาตร คือ
ปริมาตร คือ ปริมาณของปริภูมิหรือรูปทรงสามมิติ ซึ่งยึดถือหรือบรรจุอยู่ในภาชนะไม่ว่าจะสถานะใด ๆ ก็ตาม บ่อยครั้งที่ปริมาตรระบุปริมาณเป็นตัวเลขโดยใช้หน่วยกำกับ เช่นลูกบาศก์เมตรซึ่งเป็นหน่วยอนุพันธ์เอสไอ
ปริมาตรและพื้นที่ผิว ต่างกันอย่างไร
ความแตกต่างของปริมาตรกับพื้นที่ผิว นั้นคือ ปริมาตร คือ หมายถึงความมากน้อยในปริภูมิสามมิติซึ่งวัสดุชนิดหนึ่งในสถานะใด ๆ หรือรูปทรงชนิดหนึ่งยึดถืออยู่หรือบรรจุอยู่ บ่อยครั้งที่ปริมาตรระบุปริมาณเป็นตัวเลขโดยใช้หน่วยกำกับ ส่วนพื้นที่ผิว คือ ปริมาณที่แสดงถึงขอบเขตเนื้อที่ของพื้นผิวหรือรูปร่งสองมิติ พื้นที่สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นจำนวนวัสดุที่หนาขนาดหนึ่งเท่าที่จำเป็นที่จะประกอบขึ้นเป็นรูปร่าง
สูตรหาปริมาตรทรงกลม
สูตรหาปริมาตรทรงกลม = 4/3 r3
ตัวอย่าง
| ลูกโลหะทรงกลมตัน มีรัศมียาว 7 เซนติเมตร นำไปหย่อนลงอ่างน้ำ ซึ่งมีน้ำเต็มอ่างพอดี น้ำที่ล้นออกมาจะมีปริมาตรประมาณเท่าใด 1.29.33 ลูกบาศก์เซนติเมตร 2.205.33 ลูกบาศก์เซนติเมตร 3.205.67 ลูกบาศก์เซนติเมตร 4.1437.33 ลูกบาศก์เซนติเมตร เฉลย (4) 1437.33 ลูกบาศก์เซนติเมตร วิธีทำ จากสูตรปริมาตรทรงกลม = 4/3 r3 แทนค่า = 4/3 (7)(7)(7) ( รอใส่พายอาร์ ) |
สูตรปริมาตรทรงกระบอก
สูตรหาปริมาตรทรงกระบอก = r2h
ตัวอย่าง
| โลหะรูปทรงกระบอกมีรัศมี 5 เซนติเมตรสูง 12 เซนติเมตรโลหะชิ้นนี้จะมีปริมาตรเท่าใด วิธีทำ จากสูตรปริมาตรทรงกระบอก = r2h และจะต้องมีปริมาตรทรงกระบอก = (5)(5)(12) = 300 ลูกบาศก์เซนติเมตร |
สูตรปริมาตรกรวย
สูตรหาปริมาตรกรวย = ⅓ r2h
ตัวอย่าง
| กรวยตรงรูปหนึ่งมีรัศมี 10 เซนติเมตรสูง 15 เซนติเมตรไปมากกว่านี้จะเท่ากับเท่าใด วิธีทำ จากสูตรปริมาตรกรวย = ⅓ r2h จะได้เท่ากับ = ⅓ (10)(10)(15) = 50 ลูกบาศก์เซนติเมตร |
สูตรหาปริมาตรลูกบาศก์
สูตรหาปริมาตร สี่เหลี่ยมด้านเท่า = ด้าน x ด้าน x ด้า
ตัวอย่าง
| ลูกเต๋าลูกหนึ่งมีด้านกว้าง 5 เซนติเมตร จงหาว่ามีปริมาตรเท่าใด วิธีทำ จากสูตรปริมาตรลูกบาศก์ = ด้าน x ด้าน x ด้าน จะได้ = 5 x 5 x 5 = 125 ลูกบาศก์เซนติเมตร |
สูตรปริมาตรทรงพีระมิด
สูตรหาปริมาตรพีระมิด = ⅓ x พื้นที่ฐาน x สูง (ตรง)
ตัวอย่าง
| พีระมิดรูปหนึ่งมีฐานยาว 10 เซนติเมตร กว้าง 15 เซนติเมตร มีความสูง 20 เซนติเมตรถามว่าปริมาตรของพีระมิดรูปนี้เท่ากับเท่าใด วิธีทำ จากสูตรปริมาตรของพีระมิด = ⅓ x พื้นที่ฐาน x สูง (ตรง) จะได้ = ⅓ x 10 x 15 x 20 = 1000 ลูกบาศก์เซนติเมตร |
สูตรปริมาตรปริซึม
สูตรหาปริมาตรปริซึม = กว้าง x ยาว x สูง
ตัวอย่าง
| ปริซึมสามเหลี่ยมสูง 8 เซนติเมตรด้านฐานยาว 3 4 5 เซนติเมตรตามลำดับพื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึมเป็นเท่าใด วิธีทำ จากสูตรปริมาตรปริซึม = กว้าง x ยาว x สูง จะได้ = 3 x 4 x 8 = 96 ลูกบาศก์เซนติเมตร |
สูตรพื้นที่ผิวทรงกลม
สูตรหาพื้นที่ผิวทั้งหมดทรงกลม = 4r2
ตัวอย่าง
| ทรงกลมทรงหนึ่งมีรัศมี 10 เซนติเมตรจงหาว่าพื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกลมเท่ากับเท่าใด วิธีทำ จากสูตรพื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกลม = 4r2 จะได้ = 4(10)(10) = 400 ลูกบาศก์เซนติเมตร ( รอใส่พายอาร์ ) |
สูตรพื้นที่ผิวทรงกระบอก
สูตรหาพื้นที่ผิวของทรงกระบอก
= พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่ฐานสองด้าน
= 2rh + 2r2
ตัวอย่าง
| ทรงกระบอกทรง 1 มีรัศมีเท่ากับ 10 เซนติเมตรสูง 20 เซนติเมตรถามว่าพื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกระบอกเท่ากับเท่าใด วิธีทำ จากสูตรพื้นที่ผิวของทรงกระบอก = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่ฐาน 2 ด้าน จะได้ = 2rh + 2r2 แทนค่า = 2(10)(20) + 2(10)(10) = 400 + 200 = 600 ( รอใส่พายอาร์ ) |
สูตรพื้นที่ผิวทรงกรวย
สูตรหาพื้นที่ผิวกรวย = rl + r2
ตัวอย่าง
| ทรงกรวยรูปหนึ่งมีความสูงอยู่ 10 cm มีรัศมี 08 cm ถามว่าพื้นที่ผิวกรวยรูปนี้มีค่าเท่ากับเท่าใด วิธีทำ จากสูตรพื้นที่ผิวกรวย = rl + r2 แทนค่า จะได้ = (18)(10) + (18)(18) = 180 + 324 = 504 ( รอใส่พายอาร์ ) |
สูตรพื้นที่ผิวทรงลูกบาศก์
สูตรพื้นที่ผิวลูกบาศก์ = 6 x (ด้าน x ด้าน)
ตัวอย่าง
| กล่องของขวัญทรงลูกบาศก์กล่องหนึ่งมีความยาวด้านอยู่ที่ 15 เซนติเมตรถามว่าต้องใช้กระดาษห่อของขวัญที่มีพื้นที่ผิวลูกบาศก์เท่ากับเท่าใดจึงจะสามารถห่อของขวัญนี้ได้มิด วิธีทำ จากสูตรพื้นที่ผิวลูกบาศก์ = 6 x (ด้าน x ด้าน) = 6 x 15 x 15 =1350 ตารางเซนติเมตร |
สูตรพื้นที่ผิวทรงพีระมิด
สูตรหาพื้นที่ผิวพีระมิด = พื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่ฐานสามเหลี่ยม
- พื้นที่ผิวข้าง (หาได้ 2 วิธี)
1. จากสูตร พื้นที่ผิวข้าง = ½ x ความยาวรอบรูปของฐาน x สูง(เอียง)
2.หาพื้นที่ผิว 1 หน้า (คือพื้นที่ของสามเหลี่ยม)
คูณพื้นที่ผิว 1 หน้า ด้วย จำนวนหน้า
ตัวอย่าง
| จงหาพื้นผิวข้างของพีระมิดห้าเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าฐานยาวด้านละ 10 เซนติเมตรและส่วนสูงเอียงยาว 6 เซนติเมตร วิธีทำ จากสูตรพื้นผิวข้างของพีระมิดห้าเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า = 1/2 x ความยาวของฐาน x สูงเอียง จะได้ = 1/2 x (5×10) x 6 = 150 ตารางเซนติเมตร |
สูตรพื้นที่ผิวทรงปริซึม
สูตรหาพื้นที่ผิวปริซึม = พื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่ฐานทั้งสอง
พื้นที่ผิวข้าง = ความยาวรอบรูปของฐาน x สูง(ตรง)
ตัวอย่าง
| ขนมกาละแมก้อนหนึ่งมีลักษณะเป็นปริซึมฐานสามเหลี่ยมหน้าจั่วด้านหนึ่งยาว 13 เซนติเมตรอีกด้านยาว 10 เซนติเมตรความสูงอยู่ที่ 100 cm ดังต่อไปนี้จะต้องใช้กระดาษห่อขนมกาละแมชิ้นนี้โดยใช้พื้นที่อย่างน้อยเท่าใด วิธีทำ จากสูตร พื้นที่ผิวปริซึม = พื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่ฐานทั้งสอง พื้นที่ผิวข้าง = ความยาวรอบรูปของฐาน x สูง(ตรง) ขั้นตอนที่ 1 หาความสูงกำหนดให้ H เท่ากับความสูงของสามเหลี่ยม ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได้ 132 = 52 + h2 169 = 25 + h2 h2 = 144 h = 12 หาพื้นที่ผิว พื้นที่ฐาน (รูปสามเหลี่ยมมี 2 รูป) = 2 x (½ x ฐาน x สูง) = 2 x ½ x 10 x 12 = 2 x 60 = 120 ลูกบาศก์เซนติเมตร พื้นที่ด้านข้าง (รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามี 3 รูปต่างขนาดกัน) = (10×100) + (13 x 100) + (13 x 100) = 1000 + 1300 + 1300 = 3600 ตารางเซนติเมตร สรุป พื้นที่ผิวของปริซึมฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส = พื้นที่ด้านข้าง + พื้นที่ฐาน = 3600 + 120 = 3720 จึงต้องใช้กระดาษห่ออย่างน้อย 3720 ตารางเซนติเมตร ( รอใส่พายอาร์ ) |
พื้นที่ผิวและปริมาตร ม.3 สรุป
| รูปทรงพีระมิด ปริมาตร = ⅓ x พื้นที่ฐาน x สูงตรง พื้นที่ผิว = พื้นที่ฐาน + พื้นที่ผิวข้าง |
| รูปทรงกระบอก ปริมาตร = พื้นที่ฐาน x สูง พื้นที่ผิว = พื้นที่หน้าตัด + พื้นที่ผิวข้าง |
| รูปทรงกระบอกกลวง ปริมาตร = r2h พื้นที่ผิว = R2h – r2h = h (R2 – r2) |
| รูปทรงกรวย ปริมาตร = ⅓ x พื้นที่ฐาน x สูงตรง พื้นที่ผิว = พื้นที่ฐาน + พื้นที่ผิวข้าง |
| รูปทรงกลม ปริมาตร = 4/3 r3 พื้นที่ผิว = 4r2 |
| รูปทรงปริซึม ปริมาตร = พื้นที่ฐาน x สูง พื้นที่ผิว = พื้นที่หน้าตัด + พื้นที่ผิวข้าง |
โจทย์ปัญหาพื้นที่ผิวและปริมาตร ม.3 พร้อมวิธีทำ
- กรวยมีฝาปิดอันหนึ่งมีรัศมีที่ปากกรวย 7 เซนติเมตรและกรวยสูง 24 เซนติเมตรและปริมาตรเป็นเท่าใด
- 1232 ลูกบาศก์เซนติเมตร
- 1323 ลูกบาศก์เซนติเมตร
- 1432 ลูกบาศก์เซนติเมตร
- 1680 ลูกบาศก์เซนติเมตร
เฉลย (1) 1232 ลูกบาศก์เซนติเมตร
2. จงหาปริมาตรของทรงกลมที่มีรัศมี 21 เซนติเมตรมีค่าเท่าใด
- 25544 ลูกบาศก์เซนติเมตร
- 38808 ลูกบาศก์เซนติเมตร
- 42544 ลูกบาศก์เซนติเมตร
- 52608 ลูกบาศก์เซนติเมตร
เฉลย (2) 38808 ลูกบาศก์เซนติเมตร
3. ปริซึมฐานสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว 3 และ 4 เซนติเมตรตามลำดับซึ่งมีความยาว 10 เซนติเมตรและจะมีปริมาตรเท่ากับกี่ลูกบาศก์เซนติเมตร
- 30 ลูกบาศก์เซนติเมตร
- 40 ลูกบาศก์เซนติเมตร
- 50 ลูกบาศก์เซนติเมตร
- 60 ลูกบาศก์เซนติเมตร
เฉลย (60) ลูกบาศก์เซนติเมตร
4. ถังทรงกระบอกมีรัศมีปากถัง 5 เซนติเมตรและสูง 14 เซนติเมตรมีน้ำโอเลี้ยงอยู่เต็มถังพอดี ต้องการนำกรวยที่มีรัศมีที่ปากกรวย 3 เซนติเมตรสูง 7 เซนติเมตร มารองรับน้ำโอเลี้ยง แจกคนโดยในการเทพอดีเต็มทุกครั้ง จงหาว่าจะต้องนำกรวยมากี่อันจึงจะเพียงพอโดยไม่ให้น้ำโอเลี้ยงเหลือค้างที่ถัง
- 14 อัน
- 15 อัน
- 16 อัน
- 17 อัน
เฉลย (4) 17 อัน
5. ลูกบอลพลาสติกลูกหนึ่งเมื่อเป่าลมแล้วมีเส้นผ่านศูนย์กลางยาว 42 เซนติเมตร ผิวโค้งพลาสติกมี 4 สีสลับกันรวมทั้งหมด 12 แถบคิดเป็นพื้นที่เท่าๆกันอยากทราบว่าแต่ละแถบมีพื้นที่กี่ตารางเซนติเมตร
- 1848 ตารางเซนติเมตร
- 1223 ตารางเซนติเมตร
- 924 ตารางเซนติเมตร
- 462 ตารางเซนติเมตร
เฉลย (4) 462 ตารางเซนติเมตร
6. ที่ดินของบ้านหลังหนึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ายาว 30.5 เมตรกว้าง 17.5 เมตรต้องการก่อกำแพงรั้วบ้านรอบด้วยอิฐบล็อกที่มีขนาดกว้าง 0.2 เมตรยาว 0.45 เมตรถ้าก่อกำแพงสูง 2 เมตรและมีประตูออก 1 ประตูขนาดกว้าง 1.5 เมตรสูง 2 เมตรจะต้องใช้อิฐประมาณกี่ก้อน
- 2000 ก้อน
- 2100 ก้อน
- 2150 ก้อน
- 2200 ก้อน
เฉลย (2) 2100 ก้อน
7. ต้องการทาสีวงกลมบนแผ่นป้ายสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาว 16 นิ้วด้วยวงกลมที่ระบายมีรัศมีภายนอก 5 นิ้วและหนา 3 นิ้วบริเวณที่ไม่ระบายสีมีเนื้อที่เท่าไหร่
- 256 ตารางนิ้ว
- 190 ตารางนิ้ว
- 66 ตารางนิ้ว
- 33 ตารางนิ้ว
เฉลย (2) 190 ตารางนิ้ว
8. ท่อน้ำ PVC รูปทรงกระบอกกลวงท่อนหนึ่งมีรัศมีภายนอก 5 เซนติเมตรหนา 1 เซนติเมตรยาว 14 เมตรจงหาปริมาณเนื้อพลาสติกที่ใช้ทำท่อ PVC นี้
- 396 ลูกบาศก์เซนติเมตร
- 704 ลูกบาศก์เซนติเมตร
- 3960 ลูกบาศก์เซนติเมตร
- 7040 ลูกบาศก์เซนติเมตร
เฉลย (1) 396 ลูกบาศก์เซนติเมตร
9. เหล็กตันรูปทรงกระบอกมีความยาวเส้นรอบวง 44 เซนติเมตรสูง 14 เซนติเมตรถ้านำมาหลอมเป็นลูกปืนให้มีเส้นผ่าศูนย์กลางยาว 2 เซนติเมตรจะทำลูกปืนได้มากที่สุดกี่ลูก
- 73 ลูก
- 514 ลูก
- 437 ลูก
- 686 ลูก
เฉลย (2) 514 ลูก
10. เหล็กรูปทรงกลมตัน 3 ลูกมีเส้นผ่าศูนย์กลางลูกละ 6 , 8 , 10 หน่วยนำมาหลอมเป็นรูปทรงกระบอกตันให้มีรัศมี 6 หน่วยจะมีความสูงกี่หน่วย
- 4.5 หน่วย
- 8 หน่วย
- 16 หน่วย
- 24 หน่วย
เฉลย (2) 8 หน่วย
ต่างกันหรือไม่ พื้นที่-พื้นที่ด้านข้าง-พื้นที่ผิว-พื้นที่ผิวทั้งหมด
- การหาพื้นที่ผิวของรูปเรขาคณิตสามมิติใด ๆ เป็นการหาพื้นที่ของพื้นที่ผิวทั้งหมดของรูปเรขาคณิตสามมิตินั้น
- พื้นที่ผิวของปริซึม และทรงกระบอก หาจาก พื้นที่ของด้านข้างทั้งหมด + พื้นที่ของฐานทั้งสอง
- พื้นที่ผิวกับพื้นที่ทั้งหมดมีความหมายเหมือนกัน
- พื้นที่ผิวข้าง (Lateral Area) เขียนแทนด้วย L.A.
- พื้นที่ฐาน (Area of The Base)
- พื้นที่ทั้งหมด (Total Area) เขียนแทนด้วย T.A.
- ฐาน (Base) เขียนแทนด้วย B
จุดที่น่าสนใจ เรื่อง การหาพื้นที่-ปริมาตร
กรณีปริซึมและพีระมิด สูตรในการหาพื้นที่ผิวทั้งหมดขึ้นอยู่กับฐานของรูป เช่น ฐาน เป็นดังรูปต่อไปนี้
จากการได้เรียนเรื่องปริมาตรและพื้นที่ผิวของรูปร่างและรูปทรงต่าง ๆ นั้นจะช่วยให้น้อง ๆ สามารถทำโจทย์ได้ทั้งโจทย์ในห้องเรียน โจทย์แข่งขัน และโจทย์สอบเข้าโรงเรียนดังต่าง ๆ ที่น้องต้องการได้ หากน้องรู้สึกว่าเรื่องนี้ค่อนข้างมีสูตรเยอะมาก พี่ ๆ ATHOME ขอแนะนำให้น้อง ๆ ค่อย ๆ ทำแบบฝึกหัดพื้นฐานในแต่ละหัวข้อให้เข้าใจก่อนจากนั้นค่อยอัพความยากของโจทย์ไปเรื่อย ๆ จะดีที่สุดค่ะ
คำถามที่พบบ่อย (FAQ)
พื้นที่ผิว กับ พื้นที่ผิวข้าง ต่างกันอย่างไร
พื้นที่ผิวคือพื้นที่ผิวทั้งหมด ส่วนพื้นที่ผิวข้างเป็นส่วนหนึ่งของพื้นที่ผิว เป็นพื้นที่บริเวณด้านข้าง
ความแตกต่างของ ปริมาตร และ พื้นที่ผิว คืออะไร
ปริมาตรคือการหาปริมาณในสามมิติ ส่วนพื้นที่ผิวคือการหาปริมาณในสองมิติ
สามเหลี่ยมปกติ คืออะไร
รูปร่างสองมิติ ที่มีจำนวนด้าน 3 ด้าน ขนาดเท่ากันทุกด้าน มุมภายในมีขนาดกางเท่ากันทุกมุม
