พีทาโกรัสคืออะไร เข้าใจง่ายใช้ได้ทันที

Home > เลข > พีทาโกรัสคืออะไร เข้าใจง่ายใช้ได้ทันที
เขียนโดย :
โพสต์เมื่อ :

อ่านสรุปตรงนี้ได้เลย

เชื่อว่าทุกคนคงจะคุ้นเคยกับคำว่า “พีทาโกรัส” มาบ้างไม่มากก็น้อย  แต่ทราบมั้ยว่าพีทาโกรัสคืออะไร มีความสำคัญอย่างไรต่อวิชาคณิตศาสตร์ จริงๆแล้ว พีทาโกรัสคือ ชื่อของนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงในประวัติศาสตร์ นอกจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสเองที่เรารู้จักกันดี เขายังเป็นผู้คิดค้นทฤษฎีเรขาคณิต รวมถึงเป็นคนที่พบว่า ผลบวกมุมภายในของสามเหลี่ยมใดๆ เท่ากับ 180 องศาอีกด้วยนะ

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส คือ ทฤษฎีที่ว่าด้วยความสัมพันธ์ระหว่างด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ซึ่งมีนิยามว่า 

ในสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลรวมพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเป็นด้านประชิดมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากนั้น

อธิบายจากนิยามง่ายๆ ก็คือ กำลังสองของด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้านที่เหลือนั่นเอง ลองมาดูภาพตัวอย่างกัน

( ใส่รูป 1 )

กำหนดให้

a แทน ความยาวตรงข้ามมุม A

b แทน ความยาวตรงข้ามมุม B

c แทน ความยาวตรงข้ามมุม C

ด้าน AB เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก

ด้าน AC และ BC เรียกว่า ด้านประชิดมุมฉาก

จากภาพจะเห็นว่า พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเดียวกับด้าน c จะเท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยมจตุรัสของด้าน b และ ด้าน a มารวมกัน สูตรของพื้นที่สี่เหลี่ยมจตุรัสก็คือ (ด้าน)2 เพราะฉะนั้น เราจึงเขียนเป็นสมการได้ว่า 

c2 = a2 + b2 

เป็น สมการของทฤษฎีพีทาโกรัส ที่น้องๆ ต้องจำให้ขึ้นใจ เพราะเราต้องใช้สมการนี้ในการแก้โจทย์ปัญหาทางคณิตศาสตร์อยู่บ่อยๆ แถมยังเป็นพื้นฐานของตรีโกณมิติอีกด้วย 

ตัวอย่างการใช้สมการพีทาโกรัส

น้องๆต้องจำไว้ว่าสมการพีทาโกรัส  c2 = a2 + b2  นั้นใช้สำหรับแก้โจทย์ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น ไม่สามารถใช้สูตรนี้กับสามเหลี่ยมอื่นๆได้ 

ตัวอย่าง

( ใส่รูป 2 )

จากรูป ถ้าด้าน a มีความยาวเท่ากับ 3 หน่วย ด้าน b มีความยาวเท่ากับ 4 หน่วย ด้าน c มีความยาวเท่าไหร่ 

( ใส่รูป 3 )

เลขชุดพีทาโกรัส 

“เลขชุดพีทาโกรัส” คือ ชุดตัวเลขที่ทำให้เราสามารถหาความยาวของด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉากตาม
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส (c2 = a2 + b2) ได้อย่างรวดเร็ว ถ้าเราทราบความยาวของด้านอย่างน้อยสองด้าน เราจะหาความยาวของด้านที่สามได้ทันที แต่มีข้อแม้ว่า ด้าน a และ b จะต้องเป็นด้านประชิดมุมฉากด้านใดก็ได้ ส่วน c จะเป็นด้านตรงข้ามมุมฉากหรือด้านที่ยาวที่สุดเท่านั้น 

ยกตัวอย่างเช่น

ถ้าเราทราบว่า a = 4, b = 3

เราจะสามารถบอกได้ทันทีว่า c = 5 ซึ่งเลข 3,4 และ 5

ถือเป็นหนึ่งในเลขชุดของพีทาโกรัสด้วย และยังมีเลขชุดอื่นๆ
ที่น้องๆควรจำให้ได้

( ใส่รูป 4 )

จากตาราง หากเราทราบว่า a = 15, c = 17 เราก็บอกได้ทันทีว่า b จะเท่ากับ 8 โดยไม่ต้องคำนวณเลย 

บทกลับทฤษฎีพีทาโกรัส

บทกลับของทฤษฎีพีทาโกรัส กล่าวว่า “ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ ถ้าพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านที่ยาวที่สุด เท่ากับผลบวกของพื้นที่รูป สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านอีกสองด้านแล้ว รูปสามเหลี่ยมน้ัน ย่อมเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านยาวที่สุด เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก”

น้องๆสังเกตมั้ยคะว่าบทกลับของทฤษฎีพีทาโกรัสก็คือการสลับเหตุและผลจากทฤษฎีพีทาโกรัสเดิม จากเหตุกลายมาเป็นผล จากผลกลายมาเป็นเหตุ เราจึงเรียกมันเป็นบทกลับของทฤษฎีพีทาโกรัสนั่นเอง 

และจากบทกลับของทฤษฎีพีทาโกรัสนี้ ทำให้เราหาได้ว่ารูปสามเหลี่ยมใดๆ เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม มุมป้านหรือสามเหลี่ยมมุมฉาก เมื่อเรากำหนดให้ c เป็นความยาวของด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยม จะได้ว่า

  • c² = a² + b² สามเหลี่ยมที่ได้จะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
  • c² > a² + b² สามเหลี่ยมที่ได้จะเป็นสามเหลี่ยมมุมป้าน
  • c² < a² + b² สามเหลี่ยมที่ได้จะเป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม


ตัวอย่าง

กำหนดความยาวของด้านสามด้าน ได้แก่ด้าน a = 4, b = 5 และ c = 6  นำทั้งสามด้านมาสร้างเป็นรูปสามเหลี่ยม จะได้รูปสามเหลี่ยมอะไร 

c2 = 6 x 6 = 36

a² + b²  = (4 x 4) + (5 x 5) = 16 + 25 = 41

เพราะฉะนั้น c² < a² + b²

ดังนั้น
รูปสามเหลี่ยมที่ได้จึงเป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม

เป็นอย่างไรกันบ้างคะ สำหรับทฤษฎีบทพีทาโกรัส ถึงชื่อเรียกยาก แต่เข้าใจง่ายมากใช่มั้ยคะ แต่ถ้าใครอยากจะเข้าใจพีทาโกรัสกันให้ลึกซึ้งมากขึ้นไปอีก พี่ๆ AT HOME มีคอร์สติวเข้มเรื่องทฤษฎีบทพีทาโกรัส รับรองว่าเรียนจบรู้ทุกอย่าง เข้าใจทุกเรื่องเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสแน่นอน 

คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยมใด

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เป็นทฤษฎีที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งอธิบายได้ว่า “ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลบวกของกำลังสองของความยาวของด้านประกอบมุมฉาก” สามารถสรุปออกมาเป็นสูตรคือ  c² = a² + b² และย้ำว่าสูตรนี้สามารถใช้หาความยาวด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น ไม่สามารถหาความยาวของสามเหลี่ยมอื่นๆได้ 

และจากบทกลับทฤษฎีพีทาโกรัสที่อธิบายว่า “ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ ถ้าพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านที่ยาวที่สุด เท่ากับผลบวกของพื้นที่รูป สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านอีกสองด้านแล้ว รูปสามเหลี่ยมน้ัน ย่อมเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านยาวที่สุด เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก” ทำให้เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าสามเหลี่ยมที่สร้างจากด้านที่กำหนดให้นั้นเป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม สามเหลี่ยมมุมป้านหรือสามเหลี่ยมมุมฉาก 

บทความที่เกี่ยวข้อง
 เตรียมพร้อมเข้า ม.4  เนื้อหา ฟิสิกส์ ม 4 เทอม 1 เรียนอะไร
โพสต์เมื่อ :
เก็งแนวข้อสอบวิทยาศาสตร์ทั่วไป 9 วิชาสามัญฉบับพร้อมสอบ
โพสต์เมื่อ :
เนื้อหาวิทยาศาสตร์ ม. 3 หลักสูตรใหม่
โพสต์เมื่อ :
สรุปสูตรหาปริมาตรรูปเรขาคณิตสามมิติ พร้อมรูปคลี่ เข้าใจง่ายสุด ๆ
โพสต์เมื่อ :
สรุประบบสมการเชิงเส้น คณิตศาสตร์ ม.ต้น เข้าใจได้ด้วยตัวเอง อ่านจบ ทำโจทย์ได้แ...
โพสต์เมื่อ :
สรุปเนื้อหาตรรกศาสตร์ ม.4 
โพสต์เมื่อ :