สรุป เส้นขนานและมุมภายใน ม.2 พร้อมแบบฝึกหัดและเฉลย ทบทวนบทเรียนก่อนเข้าห้องสอบได้อย่างมั่นใจ

Home > เลข > สรุป เส้นขนานและมุมภายใน ม.2 พร้อมแบบฝึกหัดและเฉลย ทบทวนบทเรียนก่อนเข้าห้องสอบได้อย่างมั่นใจ
เขียนโดย :
โพสต์เมื่อ :

อ่านสรุปตรงนี้ได้เลย

เส้นขนาน และ มุมภายใน เป็นเนื้อหาคณิตศาสตร์ระดับม.ต้นที่สามารถนำไปประยุกต์ได้มากกับบทเรขาคณิตต่าง ๆ ไม่ว่าจะเป็นเรื่องวงกลม หรือรูปเรขาคณิตต่า ๆ อีกมากมาย เป็นบทพื้นฐานที่จะทำให้เข้าใจเรื่องเรขาคณิตได้ดียิ่งขึ้น นอกจากนี้บทนี้ยังเป็นบทเริ่มต้นที่จะปูเนื้อหาไปยังเรื่องคุณสมบัติต่าง ๆ ของรูปสามเหลี่ยมอีกด้วย 

เส้นขนาน คือ 

บทนิยาม เส้นขนาน คืออะไร

บทนิยาม เส้นขนาน คือ เส้นตรงสองเส้นที่อยู่บนระนาบเดียวกัน
ขนานกันก็ต่อเมื่อ เส้นตรงสองเส้นนั้นไม่ตัดกัน

สมบัติของเส้นขนาน 

เส้นตรงสองเส้นที่อยู่บนระนาบเดียวกัน
ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน แล้วระยะห่างระหว่างเส้นตรงคู่นั้น จะเท่ากันเสมอ และในทางกลับกัน ถ้าเส้นตรงสองเส้นมีระยะห่าง ระหว่างเส้นตรงเท่ากันเสมอ แล้วเส้นตรงคู่นั้นจะขนานกัน
เส้นตรงสองเส้นที่กำ หนดให้จะขนานกันหรือไม่ สามารถตรวจสอบ จากระยะห่างระหว่างเส้นตรงทั้งสองที่วัดจากจุดที่แตกต่างกัน อย่างน้อยสองจุด หรือพิจารณาจากขนาดของมุมภายในที่อยู่บน ข้างเดียวกันของเส้นตัด ขนาดของมุมแย้ง หรือขนาดของ มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด
ถ้าต่อด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมออกไป แล้วมุมภายนอก ที่เกิดขึ้นจะมีขนาดเท่ากับผลบวกของขนาดของมุมภายในที่ไม่ใช่ มุมประชิดของมุมภายนอกนั้น

ระยะห่างระหว่างเส้นขนาน

ในกรณที่ เส้นตรง AB ขนานกับ เส้นตรง CD จะได้ว่า EF = XY นั่นคือระยะห่างระหว่างเส้นตรง AB
และเส้นตรง CD ที่วัดจากจุดที่แตกต่างกันบนเส้นตรง AB จะเท่ากันเสมอ

ในกรณีทั่วไป ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน ระยะห่างระหว่างเส้นตรงสองเส้นนั้นจะเท่ากันเสมอ และในทางกลับกัน ถ้าเส้นตรงทั้งสองเส้นมีระยห่างเท่ากันเสมอ แล้วเส้นตรงคู่นั้นจะขนานกัน

เส้นขนานและมุมภายใน

ในการตรวจสอบว่าเส้นใดเป็นเส้นขนานด้วยการวัดระยะห่างของเส้นขนานแล้วนั้น ยังสามารถพิจารณามุมภายในที่มุมข้างเดียวกันของเส้นตัด ดังต่อไปนี้

ตัวอย่าง

จากรูป เส้นตรง AB เรียกว่า เส้นตัด AB

เรียกมุม x และ มุม y ว่า มุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันกับเส้นตัด AB

และ เรียกมุม u และ มุม v ว่า มุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด AB ด้วย 

สมบัติของเส้นขนานกับมุมภายใน

  1. ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วขนาดมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันเท่ากับ 180 องศา
  1. ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดกับเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำให้ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันเท่ากับ 180 องศา แล้วเส้นตรงคู่นั้นจะขนานกัน

แบบฝึกหัด เรื่อง เส้นขนานและมุมภายใน

วิธีทำ  เนื่องจาก เส้นตรง PQ // เส้นตรง RS และมี เส้นตรง AB เป็นเส้นตัด ทำ ให้มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของ เส้นตัดมีขนาดเท่ากัน  

จะได้ มุม APQ = มุม ARS และ มุม BRS = มุม BPQ


วิธีทำ    เนื่องจาก เส้นตรง MN // เส้นตรง KL และมี เส้นตรง เส้นตรง PQ เป็นเส้นตัด

ทำให้มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของ เส้นตัดมีขนาดเท่ากัน  

จะได้ มุม NST = มุม LTP

 เนื่องจาก เส้นตรง MN // เส้นตรง KL และมี เส้นตรง PQ เป็นเส้นตัด ทำ ให้มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน  

จะได้ มุม NST  =  มุม STK  

เนื่องจาก เส้นตรง MN ตัดกับ เส้นตรง PQ 

ทำ ให้มุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน  

จะได้ มุม NST =  มุม QSM

 ดังนั้น มุม NST = มุม  LTP =  มุม STK = มุม QSM


วิธีทำ  ลาก เส้นตรง EH ขนานกับ เส้นตรง AB จะได้ เส้นตรง EH // เส้นตรง CD ด้วย
(สมบัติถ่ายทอดของการขนาน) เนื่องจาก เส้นตรง AB // เส้นตรง EH และมี เส้นตรง EF เป็นเส้นตัด  

จะได้ มุม  AEH = 52° (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมภายนอกและ มุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน)

 เนื่องจาก มุม  AEC = 104° (กำหนดให้)  

จะได้ มุม HEC = 104 – 52 = 52° (สมบัติของการเท่ากัน)

เนื่องจาก เส้นตรง EH // เส้นตรง CD และมี เส้นตรง EC เป็นเส้นตัด  

จะได้ มุม HEC + มุม ECD = 180°
(ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดที่ตัดเส้นขนาน รวมกันเท่ากับ 180°)
ดังนั้น มุม  ECD = 180 – 52 = 128° (สมบัติของการเท่ากัน)


เส้นขนานและมุมแย้ง

พิจารณารูปต่อไปนี้

จากรูป มุม x และ มุม y เป็นมุมแย้ง และ เรียก มุม u และมุม v ว่าเป็นมุมแย้ง

ทฤษฎีบท ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้งจะมีขนาดเท่ากัน

ตัวอย่าง

  1. กำหนดให้ AB //  CD  และมี XY   เป็นเส้นตัด ดังรูป จงอธิบายว่ามุมใดมีขนาดเท่ากันบ้าง

วิธีทำ เนื่องจาก AB //  CD  มี XY   เป็นเส้นตัด จะได้มุมแย้งเท่ากันคือ

3  = 6       และ    4  = 5 

เนื่องจาก  XY  ตัดกับ  AB และ CD  จะได้มุมตรงข้ามขนาดเท่ากันคือ 

1  =  4      2  =  3      5  =  8       6  =  7  

จากสมบัติการเท่ากัน จะได้ว่า

1  =  4  =  5  =  8

 2  =  3 =    6  =  7  


เส้นขนานกับมุมภายนอกและมุมภายใน

พิจารณารูปต่อไปนี้

เรียก มุม 1 , 2 , 7 , 8 ว่า มุมภายนอก

เรียกมุม 3, 4 , 5 , 6 ว่า มุมภายใน

เรียกมุม 1, 5 ว่า มุมภายนอกและมุมภายใน ที่อยู่ตรงข้ามของข้างเดียวกันของเส้นตัด

ในทำนองเดียวกัน จะเรียกมุม 2 และมุม 6 , 7 , 3 , 8 , 4 แต่ละคู่ว่าเป็น มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด 

ทฤษฎีบท 

ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมภายนอก และมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกัน
ของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน

เส้นขนานกับรูปสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบท  ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 180 องศา

ทฤษฎีบทข้างต้น สามารถนำมาใช้พิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับขนาดของมุมภายนอกและขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมได้ดังต่อไปนี้

จากรูป กำหนดสามเหลี่ยม ABC และต่อเส้นตรง BC ออกไปทางจุด C ถึงจุด D เรียกว่ามุม ACD ว่ามุมภายนอกของสามเหลี่ยม ABC เรียก มุม ACB และ มุม ACD ว่าเป็นมุมประชิด หรืออาจเรียกว่า มุม ACB เป็นมุมประชิดของ มุม ACD

ทฤษฎีบท

ถ้าต่อด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมออกไป มุมภายนอกที่เกิดขึ้นจะมีขนาดเท่ากับผลบวกของขนาดของมุมภายในที่ไม่ใช่มุมประชิดของมุมภายนอกนั้น นอกจากทฤษฎีบทดังกล่าวแล้ว ยังมีการนำทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม ไปพิสูจน์สมบัติที่เกี่ยวกับความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมดังต่อไปนี้

ทฤษฎีบท

ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีมุมที่มีขนาดเท่ากันสองคู่ และด้านคู่ที่อยู่ตรงข้ามกับมุมคู่ที่มีขนาดเท่ากัน ยาวเท่ากันหนึ่งคู่แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ

แบบฝึกหัด เรื่อง เส้นขนานและรูปสามเหลี่ยม

วิธีทำ   เนื่องจาก เส้นตรง BA // เส้นตรง CE และมี เส้นตรง BC เป็นเส้นตัด

​​จะได้     64 + (x + 68) = 180
(ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดที่ตัดเส้นขนาน รวมกันเท่ากับ 180°)

ดังนั้น x = 48 (สมบัติของการเท่ากัน)


วิธีทำ  เนื่องจาก มุม  ABE = มุม BCF = 128° (กำหนดให้)

จะได้ เส้นตรง BE // เส้นตรง CF  

(ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำ ให้มุมภายนอกและ  มุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน แล้วเส้นตรงคู่นั้นขนานกัน)

เนื่องจาก มุม  CEF = 81° (กำหนดให้)

จะได้ มุม CFE + 46 + 81 = 180 (ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดที่ตัด เส้นขนานรวมกันเท่ากับ 180°)

ดังนั้น มุม  CFE = 53° (สมบัติของการเท่ากัน)


วิธีทำ พิจารณา ∆CDE

จะได้  106 = y + 90
(ขนาดของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลบวกของขนาดของมุมภายในที่ไม่ใช่มุมประชิดของมุมภายนอกนั้น)

ดังนั้น y = 16 (สมบัติของการเท่ากัน)

จะได้   มุม ACD = 90 – y = 90 – 16 = 74° (สมบัติของการเท่ากัน) 

จะได้ x = 74 (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน)

ดังนั้น x + y = 74 + 16 = 78


วิธีทำ   เนื่องจาก มุม DAE + 130 = 180 (ขนาดของมุมตรง)

จะได้ มุม DAE = 50° (สมบัติของการเท่ากัน)

พิจารณา ∆ABC

จะได้ 120 = y + 50 (ขนาดของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลบวกของขนาดของมุมภายในที่ไม่ใช่มุมประชิดของมุมภายนอกนั้น)

ดังนั้น y = 70 (สมบัติของการเท่ากัน)

เนื่องจาก มุม  ADE = 100° (ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้วมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน)

พิจารณา ∆ADE  

จะได้ x = 100 + 50 = 150 (ขนาดของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลบวกของขนาดของมุมภายในที่ไม่ใช่มุมประชิดของมุมภายนอกนั้น)


  1.  

วิธีทำ   เนื่องจาก เส้นตรง DG // เส้นตรง AC และมี EC เป็นเส้นตัด (กำหนดให้)

จะได้       x = 54 (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด 
แล้วมุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบน ข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน) 

เนื่องจาก มุม  ABD = มุม  FBG =  48° (ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้วมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน)

และ 54 + 48 + y = 180 (ขนาดของมุมตรง)

จะได้ y = 78 (สมบัติของการเท่ากัน)

ดังนั้น (x – y)2 = (54 – 78)2 = 576 


วิธีทำ  เนื่องจาก ∆EAB เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

จะได้ มุม 1 = มุม 2 (มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีขนาดเท่ากัน) 

เนื่องจาก เส้นตรง XY // เส้นตรง AB มี เส้นตรง AE เป็นเส้นตัด (กำหนดให้)

จะได้ มุม 1 = มุม 3 และ มุม 2 =มุม 5
(ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้ง มีขนาดเท่ากัน)

และ มุม 1 = มุม 4 และ มุม 2 = มุม 6 (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมภายนอก และมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาด เท่ากัน)

ดังนั้น มุม  1 = มุม 2 = มุม 3 = มุม  4 = มุม 5 = มุม 6


แบบฝึกหัด เส้นขนาน และมุมแย้ง

จากรูป กำ หนดให้ เส้นตรง PQ // เส้นตรง RS, เส้นตรง RS // เส้นตรง MN และ เส้นตรง TR // เส้นตรง MQ จงหาค่าของ x + y + z

วิธีทำ  

เนื่องจาก มุม RSQ และ มุม PQS เป็นมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดที่ตัดเส้นขนาน  

จะได้ มุม        RSQ = 180 – 55 = 125° เนื่องจาก ขนาดของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลบวกของขนาดของมุมภายในที่ไม่ใช่มุมประชิดของ มุมภายนอกนั้น จะได้ มุม RSQ = y + z
ดังนั้น y + z = 125 เนื่องจาก เส้นตรง TR // เส้นตรง MQ และมี เส้นตรง RS เป็นเส้นตัด จะได้ x = 125  

ดังนั้น x + y + z = 125 + 125 = 250


จากรูป กำ หนดให้ เส้นตรง AB // เส้นตรง DF และ เส้นตรง AC // เส้นตรง DE

จงหาค่าของ a และ b 

วิธีทำ ลาก เส้นตรง CG // เส้นตรง DF 

ดังนั้น เส้นตรง CG // เส้นตรง AB ด้วย เนื่องจาก มุม BAC และ มุม ACG เป็นมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกัน  ของเส้นตัดที่ตัดเส้นขนาน  

จะได้ มุม ACG = 180 – 150 = 30° ดังนั้น มุม GCD = 80 – 30 = 50° เนื่องจาก มุม GCD และ มุม CDF เป็นมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกัน ของเส้นตัดที่ตัดเส้นขนาน จะได้ มุม CDF = 180 – 50 = 130°  

ดังนั้น a = 130


  1. กำหนดให้ เส้นตรง AC // เส้นตรง DE, มุม BAC = 114° และ มุม ABC = 38° จงหาขนาดของ มุม CDE พร้อมแสดงเหตุผล 

วิธีทำ   เนื่องจาก มุม BAC = 114° และ มุม ABC = 38°  

พิจารณา ∆ABC  

เนื่องจาก มุม ACB + 114 + 38 = 180°
(ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 180° )

จะได้ มุม  ACB = 28° (สมบัติของการเท่ากัน)
เนื่องจาก เส้นตรง AC // เส้นตรง DE และมี เส้นตรง CD เป็นเส้นตัด  

ดังนั้น มุม  CDE = 28° (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัดแล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน)


คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

มุมแย้ง คือ

มุมที่เกิดจากเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นขนานคู่หนึ่ง อยู่เยื้องกันคนละข้างของเส้นตัด ภายในเส้นขนานคู่นั้น มุม 2 มุมบนเส้นตรงเดียวกันรวมกันได้ 180 องศา หรือ 2 มุมฉาก

มุมตรงข้าม คือ

มุม 2 มุมที่มีขนาดเท่ากัน และเกิดจากเส้นตรง 2 เส้นตัดกันดังรูป a เป็นมุมตรงข้ามกับ a´ หรือ กลับกัน b เป็นมุมตรงข้ามกับ b´หรือ กลับกัน 

มุมภายใน คือ

มุมที่เกิดจากด้านสองด้านที่มีจุดปลายข้างหนึ่งร่วมกัน ภายในรูปหลายเหลี่ยมเชิงเดียว ซึ่งรูปหลายเหลี่ยมเชิงเดียวนี้จะมีมุมภายในหนึ่งมุมต่อหนึ่งจุดยอด

เป็นอย่างไรบ้างคะน้อง ๆ พอจะเข้าใจเกี่ยวกับเส้นขนานมากขึ้นแล้วใช่ไหมคะ บทเรียนนี้ไม่ได้เป็นบทที่เน้นไปที่การจำสูตร แต่เน้นไปที่ความเข้าใจเกี่ยวกับบทนิยามมากกว่า หากน้อง ๆ สามารถทำความเข้าใจว่ามุมภายในและมุมภายนอกเกี่ยวข้องกับเส้นขนานอย่างไร ก็จะทำให้น้อง ๆ สามารถหาค่าตัวแปรซึ่งแทนเป็นมุมต่าง  ๆ ในโจทย์ได้ดีมากขึ้น หากอยากได้คะแนนบทนี้สูง ๆ พี่ ๆ ขอแนะนำให้น้อง ๆ หมั่นทำโจทย์ที่มีความซับซ้อนของรูปแบบบ่อย ๆ มากขึ้น จะช่วยให้จำทฤษฎีบทได้ดีขึ้นนะคะ

บทความที่เกี่ยวข้อง
 เตรียมพร้อมเข้า ม.4  เนื้อหา ฟิสิกส์ ม 4 เทอม 1 เรียนอะไร
โพสต์เมื่อ :
เก็งแนวข้อสอบวิทยาศาสตร์ทั่วไป 9 วิชาสามัญฉบับพร้อมสอบ
โพสต์เมื่อ :
เนื้อหาวิทยาศาสตร์ ม. 3 หลักสูตรใหม่
โพสต์เมื่อ :
สรุปสูตรหาปริมาตรรูปเรขาคณิตสามมิติ พร้อมรูปคลี่ เข้าใจง่ายสุด ๆ
โพสต์เมื่อ :
สรุประบบสมการเชิงเส้น คณิตศาสตร์ ม.ต้น เข้าใจได้ด้วยตัวเอง อ่านจบ ทำโจทย์ได้แ...
โพสต์เมื่อ :
สรุปเนื้อหาตรรกศาสตร์ ม.4 
โพสต์เมื่อ :