สรุปเนื้อหา กราฟ ม.1 รวมสูตร-กฎ แบบเข้าใจง่าย อ่านได้ด้วยตัวเอง พร้อมโจทย์ฝึกความเข้าใจ

กราฟ เป็นการแสดงผลของเซตของจุดที่แสดงผลอย่างเป็นระเบียบ จัดเป็นแผนภูมิประเภทหนึ่งที่ทำให้เราสามารถวิเคราะห์ข้อมูลต่าง ๆ ได้อย่างเห็นภาพที่ชัดเจน และสะดวกรวดเร็วมากขึ้น ยิ่งไปกว่านั้นคือกราฟยังช่วยให้เราสามารถแก้ระบบสมการที่สลับซับซ้อนได้อีกด้วย

กราฟเส้นตรง คืออะไร

กราฟเส้นตรง คือ กราฟที่เขียนในรูปของ  Ax + By + C = 0

เมื่อ A B C เป็นค่าคงตัว และ A กับ B ไม่เท่ากับ พร้อมกัน อาจเรียกสมการเส้นตรงนี้ว่าสมการเชิงเส้นสองตัวแปรก็ได้เช่นกัน

สมการเส้นตรงในรูป Ax + By + C = 0

สมการนี้สามารถเขียนในอีกรูปคือ y = mx + c

ซึ่ง m = ความชัน 

     c = ระยะตัดแกน  y (Y – Intercept)

สมการเส้นตรง 

รูปแบบของสมการเส้นตรงนั้นสามารถเขียนได้หลายรูปแบบ ดังนี้

Ax + By + C  =  0

y  =  mx + c   หรือ  y = mx + b  หรือ  y  = ax + b

( รูป 1 )

คำที่ควรรู้

จุด (p, q) ผ่านเส้นตรง Ax + By + C  =  0 หมายถึงว่าถ้านำ p ไปแทนใน x และนำ q ไปแทนใน y

จะทำให้สมการทั้งสองข้างเป็นจริง นั่นเอง

วิธีการเขียนกราฟเส้นตรง 

การเขียนกราฟเส้นตรง มี 2 วิธี 

วิธีที่ 1 ทำตาราง

x	-2	-1	0	1	2
y

วิธีที่ 2 หาจุดตัด

-หาจุดตัดแกน x (สมมติให้ y = 0)

-หาจุดตัดแกน y (สมมติให้ x = 0)

รู้จัก “จุดตัดแกน x” และ “จุดตัดแกนy y”

จุดตัดแทน x ให้ y = 0 และจุดตัดแกน y ให้ x = 0

ความชันกราฟ

ความชัน = 0  →  เส้นตรงทำมุมกับแกน x = 0 องศา

ความชัน > 0  →   เส้นตรงทำมุมกับแกน x เป็นมุมแหลม

ความชัน < 0  →  เส้นตรงทำมุมกับแกน x เป็นมุมป้าน

ความชันของเส้นตรง 2 เส้น

ถ้า m1 x m2 = -1 → หมายถึงเส้นตรงทั้งสองตั้งฉากกัน

ถ้า m1  =  m2   →  หมายถึงเส้นตรงทั้งสองขนานกัน

ลักษณะของกราฟ 

กราฟของคู่อันดับ

( รูป 2 )

โจทย์ กราฟ ม.1เรื่องกราฟของความสัมพันธ์เชิงเส้น

1. จงหาเส้นตรง A B ควรเป็นเส้นตรง y = 5x หรือ y = 2x

( รูป 3 )

วิธีทำ  ให้สังเกตค่าสัมประสิทธิ์ ของ x

y  =  5x  มี  →  สัมประสิทธิ์ คือ 5   (เส้นตรง B)

y  =  3x   มี  → สัมประสิทธิ์ คือ 3

y  =  2x   มี  →  สัมประสิทธิ์ คือ 2  (เส้นตรง A)

ตอบ  A  คือ สมการ y = 2x  และ B คือ สมการ y = 5x

---

2. กราฟที่อยู่ในรูป xa  + yb  =  1

จงเขียนกราฟ  x3  + y5  =  1

วิธีทำ  สมการนี้มี   a = 3  b =  5

( รูป 4 )

---

3. จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (3,2) และ (-5,6) 

วิธีทำ     m  =   y2-y1 / x2-x1  =  6-2/ -5 -3 

 = 4/-8  = -1/2

y – y1  =  m (x – x1)

y  –  2  =  -1/2 (x – 3)

y  =    -1/2x + 7/2

ตอบ  y  =    -1/2 x + 7/2

---

กราฟ ม.1 แบบฝึกหัด เรื่องกราฟของคู่อันดับบนระบบพิกัดฉาก สองตัวแปร

1. จงยกตัวอย่างการสร้างสมการในรูปแบบต่าง ๆ

วิธีทำ  1. จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (0,3) และมีความชัน 9/2 (กรณีมี 0)

จาก          y = mx + b

y = 9/2x + 3 

2.จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (2,-3) และมีความชัน -1/7 (กรณีไม่มี 0)

จาก          y – y₁  = m (x-x1)

จะได้        y – (-3)  = -1/7 (x-2)

y + 3   =  -1/7 (x-2)

---

2. กำหนดกราฟของสมการเชิงเส้น 3x – 2y -12 = 0

จงหา  1. จุดตัดแกน x  2. จุดตัดแกน y  3. ความชัน

วิธีทำ   1. จุดตัดแกน x (ให้ y = 0)

3x = 2(0) -12 = 0

3x  = 12

  x = 4

ดังนั้น จุดตัดแกน x คือ (4, 0)

2. จุดตัดแกน y (ให้ x = 0)

3(0) – 2y – 12 = 0

-2y = 12

  y  =  -6

ดังนั้น จุดตัดแกน y คือ (0, -6)

3.หาความชัน

3x- 2y -12  =  0

3x – 12   =  2y

        y  =  3/2 x – 6

เทียบกับสมการ     y = mx + b

m = 3/2 

ตอบ  1. (4, 0)     2. (0, -6)   3. 3/2

---

2. จงหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด () และ ()

วิธีทำ จากสมการ  y = mx + b

เนื่องจากเส้นตรงผ่านจุด (3,4)

4 = m(3) + b    ……….(1)

เพราะเส้นตรงผ่านจุด (-5,-2)

2 = m(-5) + b   ………..(2)

แก้สมการ (1) (2) จะได้เป็น     m  =  ¼

          b  =  13/4

สมการที่ต้องการคือ    y = ¼ x + 13/4

หรือ    x – 4y  + 13  =  0

---

3. จงหาสมการเส้นตรงที่มีความชัน 3 และจุดตัดแกน y คือ -4

วิธีทำ  จากสมการเส้นตรง   y = mx + b

m  =  3  

b  =  -4

จะได้   y  =  3x + (-4)

y  = 3x – 4

---

กราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น ม.1 เฉลย เรื่องกราฟกับการนำไปใช้

1. เซียวจ้านซื้อคอมพิวเตอร์ราคา 10000 บาท โดยกราฟต่อไปนี้แสดงค่าหลังการใช้คอมพิวเตอร์นี้ ภายในระยะเวลา 5 ปี

<รูปกราฟ> ( รูป 5 )

จงตอบคำถาม

1. อธิบายภาพรวมของราคากับเวลา
2. เมื่อปีที่ 2 ราคาของคอมพิวเตอร์เป็นเท่าใด
3. ราคาของคอมพิวเตอร์เท่ากับ 8000 บาท เมื่อเวลาผ่านไปกี่ปี
4. คอมพิวเตอร์ไม่มีราคาเมื่อถึงปีที่เท่าใด
5. จงสร้างสมการของราคาของคอมพิวเตอร์นี้

วิธีทำ  

1. เมื่อซื้อครั้งแรก ราคาของคอมพิวเตอร์จะแพง แค่หลังจากการใช้ไปแต่ละปี ราคาก็จะลดลง โดยเวลา 5 ปี คอมพิวเตอร์นี้จะไม่มีราคาเลย

2. ใช้ x = 2 ลากแนวดิ่งไปชนรูปกราฟเส้นตรงได้ y = 6000 บาท

3. y = 8000 บาท ได้ x = 1 ปี

4. ไม่มีราคา คือ y =0 ได้ x = 5 ปี

5. จะสร้างสมการ 

(x1 , y1)   =  (0 , 10000), (x2 , y2)  =  (5, 0)

m  =  y2 – y1x2 – x1  

    =   0-100005-0  = -100005  = -2000

จุดตัดแกน y = (0, 10000)

y = mx + b

y = -2000 + 10000

นั่นคือ สมการเส้นตรง คือ   y = -2000 + 10000

---

2.กราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างเวลาในการวิ่งของนารูโตะกับอัตราเร็วเป็นดังรูปข้างล่าง

<รูปกราฟ>  ( รูป 6 )

จงหา

1. ระยะทางทั้งหมดที่นารูโตะวิ่งในเสลา 60 วินาที

2. อัตราเฉลี่ยการวิ่ง

วิธีทำ (1) พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู ABCD  = ½ x (AD + BC) x 70

    = ½ x (60+20) x 70 = 2800

ดังนั้น ระยะทางทั้งหมด = 2800 เมตร

(2) อัตราเร็วเฉลี่ย  =  st 

  = 280060  = 46.67 เมตร/วินาที

ตอบ 1. 2800 เมตร    2. 46.67 เมตร/วินาที

---

คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

บทเรียนเรื่องกราฟ นั้นถือเป็นบทเรียนเกี่ยวกับการแก้สมการเส้นตรงที่สำคัญมาก ๆ เลยน้า ในระดับม.ต้น จะเรียนเกี่ยวกับสมการเส้นตรงเป็นหลัก แต่ความจริงแล้วกราฟนั้นยังมีมากมายกว่านั้นมาก ทั้งกราฟพาราโบลา กราฟไฮเปอร์โบลา กราฟค่าสัมบูรณ์ กราฟลอกาลิทึม และอื่น ๆ ซึ่งน้อง ๆ จะได้เรียนในระดับที่สูงขึ้นไป