สรุปสูตรเรขาคณิตสองมิติและสามมิติ

Home > เลข > สรุปสูตรเรขาคณิตสองมิติและสามมิติ
เขียนโดย :
โพสต์เมื่อ :

อ่านสรุปตรงนี้ได้เลย

ก่อนเราจะเข้าเรื่อง สูตรของเรขาคณิต น้องๆรู้กันรึยังว่า “เรขาคณิต” คืออะไร มันสำคัญอย่างไร แล้วทำไมเราต้องเรียน อธิบายง่ายๆว่า “เรขาคณิต” เป็นบทเรียนหนึ่งในวิชาคณิตศาสตร์ที่ทำการศึกษาขนาด รูปร่างและตำแหน่งของรูปทรงทั้งสองมิติและสามมิติ เรขาคณิตถูกใช้ในงานศิลปะ งานสถาปัตยกรรม งานวิศวกรรม รวมถึงในชีวิตประจำวันด้วย ตั้งแต่ตื่นนอนตอนเช้าจนเข้านอนในตอนกลางคืน เราสำรวจสิ่งต่างๆ รอบตัวเราในเชิงพื้นที่และใช้เหตุผลทางเรขาคณิตอยู่ตลอดเวลาโดยที่เราไม่รู้ตัว

เรขาคณิตเบื้องต้น ที่เราได้เรียนกันไปแล้วในระดับประถมศึกษา ตั้งแต่เรื่องจุด ระนาบ เส้นตรง ส่วนของเส้นตรง รังสี เส้นโค้งและมุม พี่ๆ AT HOME จะมาสรุปสั้นๆ ให้อ่านกันอีกทีก่อนจะเข้าเนื้อหาเรขาคณิตสองมิติและสามมิติต่อไปนะครับ

  • จุด : เราใช้จุดแสดงตำแหน่งของสิ่งต่างๆ และเพื่อความเข้าใจตรงกัน เราสามารถตั้งชื่อจุดโดยใช้ตัวอักษรภาษาไทยหรือภาษาอังกฤษ
  • ระนาบ : หมายถึงพื้นที่ผิวแบนและเรียบที่แผ่ขยายออกไปไม่สิ้นสุด ส่วนที่เราเห็นขอบเขตจะเป็นเพียง “ส่วนของระนาบ” เท่านั้น การกำหนดระนาบต้องใช้จุด อย่างน้อยสามจุดขึ้นไปโดยที่สามจุดนั้นต้องไม่อยู่ร่วมบนเส้นตรงเดียวกัน 
  • เส้นตรง : เป็นเส้นตรงที่มีความยาวไม่สิ้นสุด
  • ส่วนของเส้นตรง : เกิดจากการกำหนดจุดสองจุด แล้วลากเส้นตรงจากจุดหนึ่งไปอีกจุดหนึ่ง โดยจุดทั้งสองมีชื่อเรียกว่า “จุดปลาย” 
  • รังสี : การลากเส้นตรงจากจุดๆหนึ่ง (สมมติให้ชื่อว่า A)  ต่อไปเรื่อยๆ เส้นที่เกิดขึ้นขึ้นเรียกว่า “รังสี” ถ้าเราลากเส้นตรงต่อไปเรื่อยผ่านจุด B เราจะเรียกรังสีนี้ว่า รังสี AB
  • เส้นโค้ง : ถ้าเราลากเส้นบนกระดาษลักษณะใดก็ตาม เส้นที่เกิดขึ้นจะเรียกว่าเส้นโค้ง ซึ่งไม่จำเป็นต้องโค้งตามความหมายในภาษาไทยก็ได้ 
  • มุม : เกิดจากรังสีสองเส้นที่มีจุดปลายเป็นจุดเดียวกัน เรียกจุดนั้นว่า “จุดยอดมุม” ส่วนรังสีแต่ละเส้นเรียกว่า​ “แขนของมุม” 
  • เส้นขนาน : เส้นตรงสองเส้นบนระนาบเดียวกัน จะขนานกันต่อเมื่อสองเส้นนี้ไม่ตัดกัน

เรขาคณิตสองมิติ

“เรขาคณิต 2 มิติ” คือ รูปเรขาคณิตที่แสดงความกว้างและความยาวของรูป มีอยู่ด้วยกัน 4 ชนิด ได้แก่ 

1.รูปสี่เหลี่ยม : รูปปิดสองมิติที่มีสี่ด้าน สี่มุม และมุมภายในทั้งหมดรวมกันได้ 360 องศา

รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก :
รูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมทุกมุมเป็นฉาก มีด้านเท่ากันสองคู่ และด้านตรงข้ามกันขนานกัน 
รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส :
รูปสี่เหลี่ยมที่มีทุกมุมเป็นมุมฉากและด้านทั้งสี่ยาวเท่ากัน 
รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า :
รูปสี่เหลี่ยมที่ทุกมุมเป็นมุมฉาก ด้านตรงข้ามยาวเท่ากันและขนานกัน แต่ด้านที่อยู่ติดกันยาวไม่เท่ากัน 
รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน :
รูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมไม่เป็นมุมฉาก มีด้านตรงข้ามยาวเท่ากันและขนานกันสองคู่ และมุมตรงข้ามยาวเท่ากัน 
รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน :
รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านทั้งสี่ยาวเท่ากัน และทุกมุมไม่เป็นมุมฉาก 
รูปสี่เหลี่ยมรูปว่าว :
รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านประชิดยาวเท่ากันสองคู่ มีเส้นทแยงมุมตัดกันเป็นมุมฉาก และมีมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากันหนึ่งคู่ 
รูปสี่เหลี่ยมคางหมู :
รูปสี่เหลี่ยมที่ด้านขนานกันคู่เดียว

( รอใส่รูป 1 )

2. รูปสามเหลี่ยม : รูปปิดสองมิติที่มีสามด้าน สามมุม โดยมุมภายในรวมกันได้ 180 องศา แบ่งได้สองลักษณะ

คือ แบ่งตามลักษณะของด้าน และแบ่งตามลักษณะของมุม 

2.1 แบ่งตามลักษณะของด้าน

 รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า : รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันทั้งสามด้าน
รูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า : รูปสามเหลี่ยมที่มีสามด้านยาวไม่เท่ากันเลย
รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว : รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันสองด้าน
2.2 แบ่งตามลักษณะของมุม 

รูปสามเหลี่ยมมุมแหลม : รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมทุกมุมเป็นมุมแหลม
(มุมที่มีขนาดมากกว่า 0 แต่น้อยกว่า 90 องศา)
รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก : รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งมุมเป็นมุมฉาก
รูปสามเหลี่ยมมุมป้าน : รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งมุมเป็นมุมป้าน
(มุมที่น้อยกว่า 180 แต่มากกว่า 90 องศา)

( รอใส่รูป 2 )

3. รูปวงกลม : เป็นรูปปิดที่ไม่มีมุม วาดโดยการกำหนดจุดศูนย์กลางขึ้นมาหนึ่งจุด จากนั้นลากเส้นโค้งให้มีระยะห่างจากจุดนั้นเท่ากันโดยตลอด วาดวนไปรอบจุดศูนย์กลางจนกระทั่งกลับมายังจุดเริ่มต้น โดยมีส่วนประกอบดังต่อไปนี้ 

จุดศูนย์กลาง :
จุดที่อยู่ตรงกลาง มีระยะห่างจากเส้นรอบวงเท่ากันโดยตลอด ในวงกลมหนึ่งวงจะมีจุดศูนย์กลางเพียงจุดเดียว
เส้นผ่านศูนย์กลาง
ส่วนของเส้นตรงที่ลากจากเส้นรอบวงด้านหนึ่งไปยังอีกด้านหนึ่งโดยผ่านจุดศูนย์กลาง  โดยเส้นผ่านศูนย์กลางจะยาวเป็นสองเท่าของรัศมี
เส้นรอบวง :
ส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุดศูนย์กลางไปยังเส้นรอบวง 
รัศมี :
ระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางและเส้นรอบวงของวงกลม
คอร์ด (chord) :
ส่วนของเส้นตรงที่ลากจากเส้นรอบวงด้านหนึ่งไปยังอีกด้านหนึ่ง โดยจุดปลายของเส้นอยู่บนวงกลมเดียวกัน (คอร์ดที่ยากที่สุดของวงกลมคือเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมนั้น)
เซกเตอร์ (segter) :
ส่วนของวงกลมที่เกิดจากรัศมีสองเส้นและเส้นรอบวง มีลักษณะเป็นสามเหลี่ยมฐานโค้ง (พื้นที่ในสามเหลี่ยมฐานโค้ง)
เซกเมนต์ (segment) :
ส่วนของวงกลมที่เกิดจากคอร์ดและเส้นรอบวง (พื้นที่ระหว่างเส้นรอบรูปกับคอร์ด) 
อาร์ค (arc) :
ส่วนใดส่วนหนึ่งของเส้นรอบวง

( รอใส่รูป 3 )

4. รูปหลายเหลี่ยม : เป็นรูปปิดบนระนาบที่เกิดจากส่วนของเส้นตรงตั้งแต่สามเส้นขึ้นไป มีจำนวนด้านเท่ากับจำนวนมุม และส่วนของเส้นตรงที่ลากเชื่อมจุดยอดที่ไม่ใช่ปลายของส่วนของเส้นตรงเดียวกัน เราจะเรียกว่า “เส้นทแยงมุม” ตัวอย่างของรูปหลายเหลี่ยม ได้แก่ รูปสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยม รูปเจ็ดเหลี่ยม ฯลฯ

( รอใส่รูป 4 )

สูตรคำนวณเรขาคณิตสองมิติ

สำหรับรูป เรขาคณิตสองมิติ น้องๆจะได้รู้จักสูตรในการคำนวณหาพื้นที่และความยาวเส้นรอบรูปของรูปเรขาคณิตสองมิติแบบต่างๆ ซึ่งมีสูตรดังต่อไปนี้

สูตรรูปสามเหลี่ยม 

การหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยม เราจะต้องดูรูปให้ออกและทำความเข้าใจว่าส่วนใด คือ ด้าน ความสูงหรือฐาน 

  • ความยาวรอบรูป  = ผลบวกของด้านทุกด้าน 
  • พื้นที่สามเหลี่ยมใดๆ  =  ½ x ฐาน x สูง 
  • พื้นที่สามเหลี่ยมแบบเฮรอน 

พื้นที่รูปสามเหลี่ยม (A) = s (s-a)(s-b)(s-c)

  • ใช้สำหรับหาพื้นที่สามเหลี่ยมเมื่อรู้ความยาวของด้านทั้งสาม
  • กำหนดให้ a, b, c เป็นความยาวของด้านทั้งสาม
  • s   =   ความยาวครึ่งหนึ่งของเส้นรอบรูป

  =   ½ x (a+b+c)

  • พื้นที่รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า = 3 / 4 x ด้าน2
    ( รอใส่ root 2 บรรทัด )

( รอใส่รูป 5 )

สูตรรูปสี่เหลี่ยม 

สิ่งที่ต้องระวังในการหาพื้นที่ของรูปสองมิติต่างๆ คือ ต้องทำความเข้าใจความหมายของคำต่างๆให้ดี
เช่น เส้นทแยงมุม ความสูง เส้นกิ่ง เพื่อให้มั่นใจว่าน้องๆนำตัวเลขที่ถูกต้องมาคำนวณ

  • ความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมใดๆ = ผลบวกของด้านรวมกันทุกด้าน
  • พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า = กว้าง x ยาว
  • พื้นที่สี่เหลี่ยมจตุรัส = ด้าน x ด้าน
  • พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน = ฐาน x สูง
  • พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู = ½ x ผลบวกของด้านคู่ขนาน x สูง
  • พื้นที่สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน = ½ x ผลคูณของเส้นทแยงมุม 
  • พื้นที่สี่เหลี่ยมใดๆ = ½ x เส้นทแยงมุม x ผลบวกของเส้นกิ่ง
  • พื้นที่สี่เหลี่ยมรูปว่าว = ½ x ผลคูณของเส้นทแยงมุม

สูตรรูปวงกลม 

สำหรับการหาพื้นที่และความยาวรอบรูปวงกลมจะมีสัญลักษณ์ “” อ่านว่า “pi” ซึ่งเป็นค่าคงที่ค่าหนึ่ง ซึ่งมาจากอัตราส่วนของความยาวของเส้นรอบวงต่อความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม โชคดีที่เราไม่ต้องไปหาเองว่าคือเท่าไหร่ เพราะมีการคำนวณไว้แล้วว่ามีค่าประมาณ 3.14 หรือ 22/7 เราสามารถแทนค่านี้ลงไปได้เลย

ความยาวเส้นรอบวง  =  2r =  d

พื้นที่รูปวงกลม  =  r2 = d24

โดยที่ r คือ รัศมี และ d คือ เส้นผ่านศูนย์กลาง 

พื้นที่รูปวงแหวน = (R2-r2)

โดย R คือ รัศมีวงกลมใหญ่ และ r คือรัศมีวงกลมเล็ก 

( รอใส่พายอาร์ )

( รอใส่รูป 7 )

สูตรรูปหลายเหลี่ยม

ในการหาพื้นที่รูปหลายเหลี่ยม บางครั้งน้องๆจะต้องประยุกต์ใช้สูตรรูปสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมมาใช้ในการคำนวณ 

  • พื้นที่รูปหกเหลี่ยมด้านเท่า = 332 ด้าน
  • พื้นที่รูปห้าเหลี่ยมด้านเท่า = pa/2 

โดยที่
p = เส้นรอบรูป
a = เส้นตั้งฉากจากศูนย์กลาง ไปยังด้านใดด้านหนึ่งของรูปห้าเหลี่ยม

( รอใส่ root )

เรขาคณิตสามมิติ

เรขาคณิตสามมิติ” หรือเรียกอีกอย่างว่า “รูปทรง” หมายถึงรูปที่มีลักษณะเป็นสามมิติ คือ มีทั้งความกว้าง ความยาว และความลึกหรือความหนา นูนด้วย ให้ความรู้สึกถึงความหนาแน่นและปริมาตร รูปทรงเรขาคณิตสามมิติมีหลายแบบ 

1.ปริซึม : เป็นเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานทั้งสองเป็นรูปเหลี่ยมที่มีความเท่ากันทุกประการ โดยฐานทั้งสองอยู่บนระนาบที่ขนานกัน และด้านข้างแต่ละด้านจะเห็นเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน การเรียกชื่อปริซึมจะเรียกตามลักษณะของรูปหลายเหลี่ยมที่ปรากฎบนหน้าตัดของปริซึม เช่น ปริซึมสามเหลี่ยม ปริซึมสี่เหลี่ยม ปริซึมห้าเหลี่ยม เป็นต้น 

( รอใส่รูป 8 )

ปริซึมสี่เหลี่ยมหรือรูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก ที่มีหน้าทุกหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมจตุรัส
เราจะเรียกมันว่า “ลูกบาศก์”

( รอใส่รูป 9 )

2. ทรงกระบอก : เป็นรูปทรงเรขาคณิตสามมิติที่มีหน้าตัดหรือฐานทั้งสองเป็นรูปวงกลมที่เท่ากันทุกประการ และอยู่บนระนาบที่ขนานกัน มีสองแบบ คือ ทรงกระบอกตรงและทรงกระบอกเอียง

3. พีระมิด : รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานด้านหนึ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยม อีกด้านหนึ่งเป็นยอดแหลมซึ่งอยู่คนละระนาบกับฐาน และมีหน้าด้านข้างเป็นรูปสามเหลี่ยม การเรียกชื่อพีระมิดนั้นจะเรียกตามลักษณะของรูปหลายเหลี่ยมตรงส่วนฐาน เช่น พีระมิดฐานสี่เหลี่ยม จะหมายถึง พีระมิดที่มีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยม 

4. กรวย : เป็นรูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นวงกลมและมียอดแหลมที่ไม่อยู่ในระนาบเดียวกันกับฐาน 

5. ทรงกลม : เป็นรูปเรขาคณิตสามมิติที่มีผิวโค้งเรียบ และทุกๆจุดบนผิวโค้งอยู่ห่าง
จากจุดศูนย์กลางเท่ากัน 

สูตรคำนวณเรขาคณิตสามมิติ

สูตรคำนวณเรขาคณิตสามมิติ มีพื้นฐานมาจากสูตรเรขาคณิตสองมิติ ซึ่งถ้าน้องๆเข้าใจมา
แล้วก็สามารถนำมาต่อยอดได้เลย 

สูตรรูปทรงปริซึม

ปริมาตรปริซึม      =   พื้นที่ฐาน x สูง
พื้นที่ผิวข้างปริซึม  =   ความยาวรอบรูปฐาน x สูง
พื้นที่ผิวปริซึม  =   2(พื้นที่หน้าตัด) x พื้นที่ผิวข้าง

สูตรลูกบาศก์

ปริมาตรลูกบาศก์ = ด้าน x ด้าน x ด้าน
พื้นที่ผิวทั้งหมด = ด้าน x ด้าน x 6

สูตรรูปทรงกระบอกตัน

ปริมาตรทรงกระบอก   = r2h
พื้นที่ผิวข้าง   =   2rh
พื้นที่ผิวทั้งหมด   =   2rh + 2r2

โดยที่ r คือ รัศมี และ h คือ ความสูง

( รอใส่พายอาร์)

สูตรรูปทรงพีระมิด

ปริมาตรพีระมิด  = ⅓ x พื้นที่ฐาน x สูงตรง 
พื้นที่ผิวข้างแต่ละหน้า = ½ x ฐาน x สูงเอียง
พื้นที่ผิวข้างทั้งหมด = ½ x ฐาน x สูงเอียง x จำนวนหน้า 
พื้นที่ผิวพีระมิดทั้งหมด = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่ฐาน 

สูตรรูปทรงกรวย

ปริมาตรทรงกรวย  =  ⅓ r2h 
พื้นที่ผิวข้าง  =  rl
พื้นที่ผิวทั้งหมด  =  r2+ rl

โดยกำหนดให้ r คือ รัศมี, l คือ ความยาวของสูงเอียง, h คือ ความสูงตรง

( รอใส่พายอาร์)

สูตรรูปทรงกลม

ปริมาตรทรงกลม  =  4/3r3

พื้นที่ผิวทรงกลม  =  4r2

( รอใส่พายอาร์)

สูตรรูปทรงกระบอกที่มีหน้าตัดรูปวงแหวน (รูปทรงกระบอกกรวย) 

ปริมาตร   
=  พื้นที่หน้าตัด x สูง
=  (R2-r2)

หาพื้นที่ผิวทั้งหมด    
=  พื้นที่ผิวนอก + พื้นที่ใน + พื้นที่วงแหวน
=  2 (R2-r2) + 2h(R+r)

หาพื้นที่ผิวข้าง   =   2rh

โดยที่ R คือ รัศมีวงนอก, r คือรัศมีวงใน และ h คือ ความสูง 

( รอใส่พายอาร์)

น้องๆจะเห็นว่าการเรียนเรื่อง “เรขาคณิต” จะเน้นไปที่การหาความยาวรอบรูป การหาพื้นที่และปริมาตรของรูปสองมิติและรูปทรงสามมิติเป็นหลัก การจะทำข้อสอบเรื่องนี้ได้จึงไม่ใช่แค่การท่องสูตรเท่านั้น แต่น้องๆต้องสามารถประยุกต์ใช้สูตรให้เป็น บางครั้งต้องอาศัยจินตนการและประสบการณ์ในการมองภาพรูปภาพและรูปทรงแบบต่างๆ ดังนั้นสิ่งสำคัญที่สุด คือ ต้องหัดทำโจทย์ที่หลากหลาย เพื่อเรียนรู้วิธีการแก้โจทย์ที่พลิกแพลง ใครที่ยังไม่เรียนแล้วไม่ค่อยเข้าใจ มองภาพไม่ออก ถามเพื่อนก็ตอบไม่ได้ พี่ๆ AT HOME มีคอร์สเรียนเรขาคณิตมากมายให้น้องๆได้เข้ามาเรียน ไม่ว่าจะเป็นคอร์สทฤษฎีบท คอร์สปูพื้นเนื้อหาเรขาคณิต ไปจนถึงคอร์สตะลุยโจทย์พร้อมเฉลย ส่วนใครที่เก่งแล้วจะไปลองเรียนคอร์สของพี่ๆม.ปลายในบทเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวยเพื่อเตรียมความพร้อมก่อนเพื่อนก็ได้ 

ตัวอย่างข้อสอบเรขาคณิตพร้อมเฉลย

ภาพที่ได้จากการมองภาพด้านบนของรูปเรขาคณิตสามมิติที่กำหนดให้นี้เป็นแบบใด

ตอบ ภาพที่ได้จากการมองภาพด้านบน จะเป็นภาพสองมิติดังรูป 


สี่เหลี่ยมรูปว่าวรูปหนึ่งเกิดจากการนำสามเหลี่ยมสองรูปมาประกบกันตามแนวขวาง ถ้าพื้นที่สี่เหลี่ยมรูปว่าวคือ 45 ตารางเซนติเมตร เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมรูปว่าวที่สั้นกว่ายาว 6 เซนติเมตร ความสูงของสามเหลี่ยมทั้งสองต่างกัน 9 เซนติเมตร พื้นที่ของสามเหลี่ยมทั้งสองต่างกันเท่าไหร่

ตอบ 27 เซนติเมตร 


วงกลมรูปหนึ่งมีเส้นรอบวงยาวกว่าเส้นผ่านศูนย์กลาง 1.5 เมตร พื้นที่วงกลมวงนั้นเท่ากับกี่ตารางเซนติเมตร

ตอบ 3,850 ตารางเซนติเมตร


บทความที่เกี่ยวข้อง
 เตรียมพร้อมเข้า ม.4  เนื้อหา ฟิสิกส์ ม 4 เทอม 1 เรียนอะไร
โพสต์เมื่อ :
เก็งแนวข้อสอบวิทยาศาสตร์ทั่วไป 9 วิชาสามัญฉบับพร้อมสอบ
โพสต์เมื่อ :
เนื้อหาวิทยาศาสตร์ ม. 3 หลักสูตรใหม่
โพสต์เมื่อ :
สรุปสูตรหาปริมาตรรูปเรขาคณิตสามมิติ พร้อมรูปคลี่ เข้าใจง่ายสุด ๆ
โพสต์เมื่อ :
สรุประบบสมการเชิงเส้น คณิตศาสตร์ ม.ต้น เข้าใจได้ด้วยตัวเอง อ่านจบ ทำโจทย์ได้แ...
โพสต์เมื่อ :
สรุปเนื้อหาตรรกศาสตร์ ม.4 
โพสต์เมื่อ :