สรุป การแยกตัวประกอบ พหุนาม ม. 3 พร้อมแบบฝึกหัด+เฉลย 

Home > เลข > สรุป การแยกตัวประกอบ พหุนาม ม. 3 พร้อมแบบฝึกหัด+เฉลย 
เขียนโดย :
โพสต์เมื่อ :

อ่านสรุปตรงนี้ได้เลย

หลังจากการเรียนรู้เกี่ยวกับพหุนามไปแล้วนั้น เราจะเริ่มมาเรียนรู้ให้ลึกกว่าเดิม ด้วยการรู้จักกับการแยกตัวประกอบนั้น  ๆ ซึ่งจะต่อยอดไปถึงการแก้สมการพหุนามต่อไป 

การแยกตัวประกอบ คือ 

การแยกตัวประกอบ คือ การเขียนพหุนามในรูปการคูณของพหุนาม ซึ่งตัวประกอบแต่ละวงเล็บต้องมีดีกรีน้อยกว่าพหุนามเดิม โดยที่แต่ละวงเล็บที่ได้ไม่สามารถเขียนได้ไม่สามารถเขียนเป็นรูปการคูณต่อไปได้อีกมีวิธีการแยกตัวประกอบ 8 วิธีคือ

  1. ดึงตัวร่วมโดยใช้สมบัติการแจกแจง

จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้

  1. 7x + 14x2         2. 7x2y3 + 14x4 y2   3. 7(x+y)2 + 14(x+y)5

วิธีที่ 1    7x + 14x2  = 7x(1+2x)

 วิธีที่ 2     7x + 14x2  = (7x)(1) + (7x)(2x)

      = 7x(1+2x)

(2)   7x2y3 + 14x4 y2  = 7x2 y2 (y+2x)2

(3)   7(x+y)2 + 14(x+y)5 = 7(x+y)2 (1+2(x+y)3)


  1. สามพจน์แยกเป็น 2 วงเล็บ

จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้

  1. x2 + 8x + 15      2. x2 -8x +15

    3. x2 + 2x – 15       4. x2 – 2x – 15

วิธีทำ  
(1)  x2 + 8x + 15  = (x+3)(x+5)

(2) x2 -8x +15 = (x-3)(x-5)

(3) x2 + 2x – 15 = (x-3)(x+5)

(4) x2 – 2x – 15 = (x – 5)(x+3)

ข้อสังเกต

จากข้อ 1   
x2 + 8x + 15  = (x+   ) (x+   ) ( ดูจาก 15 และ 8 x)

คิดต่อไปว่าจำนวนนับอะไรคูณกันได้  15  และ และรวมกันได้  8   จะได้ 3  และ 5

ดังนั้น    x2 + 8x + 15 เท่ากับ  (x+3)(x+5)

จากข้อ 2

x2 -8x +15          =     (x-     )(x-      )

( ดูจาก 15 และ – 8x ต่อไปว่าจำนวนนับอะไรคูณกันได้ 15 และรวมกันได้ 8 จะได้ 3 และ 5)

ดังนั้น    x2 -8x +15 = (x-3)(x-5)

จากข้อ 3

x2 + 2x – 15 = (x-     )(x+     )  ( ดูจาก – 15)  คิดต่อไปว่าจำนวนนับอะไรคูณกันได้ -15 และต่างกัน 2 จะได้ 3 และ 5 เนื่องจากผลกลางคือ 2x จึงใส่ 5 ไว้ที่บวกและใส่ 3 ไว้ที่ลบ 

ดังนั้น    x2 + 2x – 15 = (x-3)(x+5)

จากข้อ 4

x2 – 2x – 15      =      (x –     )(x+     )  ( ดูจาก – 15)
คิดต่อไปว่าจำนวนนับอะไรคูณกันได้ 15 และ 3 ชั้น 2 จะได้ 3 และ 5 เนื่องจากผลกลางคือ – 2x จึงใส่ 5 ไว้ที่ลบและใส่ 3 ไว้ที่บวก 

ดังนั้น   x2 – 2x – 15 = (x – 5)(x+3)


  1. ผลต่างกำลังสอง ผลต่างกำลังสาม และผลบวกกำลังสาม

1. ผลต่างกำลังสอง

(น-ล)(น+ล) = น2 – ล2 

ตัวอย่างเช่น   
4x2 – 9y2 = (2x)2 – (3y)2 = (2x – 3y)(2x + 3y)

2x2 – 3z = 2 (x2 – 16)

= 2(x2 – 42)

= 2(x-4)(x+4)

2. ผลต่างกำลังสาม

(น-ล)( น2  + 2นล + ล2) = น3 – ล3

ตัวอย่างเช่น   

8x3 – 27y3 = (2x)3 – (3y)2

= (2x-3y)(4x2 + 6xy + 9y2)

3. ผลบวกกำลังสาม

(น+ล)( น2  –  2นล + ล2) =   น3 + ล3

ตัวอย่างเช่น   

8x2 + 27y2 = (2x)3 + (3y)3


  1. การแยกตัวประกอบโดยอาศัยกำลังสองสมบูรณ์

รูปกำลังสองสมบูรณ์มี 2 รูป

1.x2 + 2ax + a2      =   (x+a) 2

2.x2 – 2ax + a2       =   (x – a)2


  1. เพิ่มลดพจน์กลางแล้วแยกผลต่างกำลังสอง

มักพบกับพหุนามดีกรี 4 และมี 3 พจน์

จงแยกตัวประกอบ

  1. x4 + x2y2 + y4   = (x2 + y2)2 – x2 y 2

= (x2 + y2)2 – (xy)2

= (x2 + y2 – xy)(x2 + y2 + xy)


  1.  4 พจน์จับคู่ให้เกิดวงเล็บร่วม 

หากน้อง ๆ เจอพหุนามดีกรีที่มากกว่าสอง สามารถใช้วิธีนี้ในการแยกตัวประกอบได้ เช่น
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสาม

จงแยกตัวประกอบ

 x 3 + 2 x2 -9x  – 18   = (x3 + 2x2)-(9x+18)

= x2 (x+2)-9(x+2)

= (x+2)(x2 – 9)

= (x+2)(x-3)(x+3)


  1. สี่พจน์จัดรูปผลต่างกำลังสอง

จงแยกตัวประกอบ

 x 2 + 2 x y + Y2 – 36   = (x2 + 2xy + y2) -36

= (x+y)2 – 62

= (x+y-6)(x+y+6)


  1. ทฤษฎีบทตัวประกอบ 

ทฤษฎีบทเศษเหลือ  x – c หาร p(x) เศษคือ p(c)

ตัวอย่าง  
ให้ P(x) = x2 – x -2

P(3) = 32 – 3 -2  = 4 


สูตรการแยกตัวประกอบพหุนาม

1.(น+ล)2 = น2  + 2นล + ล2
2.(น-ล)2 = น2  – 2นล + ล2
3.(น-ล)(น+ล) = น2 – ล2
4.(น-ล)( น2  + 2นล + ล2) = น3 – ล3
5.(น+ล)( น2  –  2นล + ล2) =   น3 + ล3
6.(น+ล)3  = น3 + 3น2 ล + 3นล2 + ล3
7.(น-ล)3  = น3 – 3น2 ล + 3นล2 – ล3

วิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์สำหรับการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง

พหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ดังตัวอย่างข้างต้น มีดังลักษณะพิเศษที่สังเกตได้ดังนี้

             1.  x2 + 6x + 9 =   x2 + 2(3)x + 32

                                   =   (x + 3)2
ถ้าให้  x  เป็นพจน์หน้าและ  3  เป็นพจน์หลัง 
จะเขียนความสัมพันธ์ได้ดังนี้

(พจน์หน้า)2 + 2(พจน์หน้า)(พจน์หลัง) + (พจน์หลัง)2 = (พจน์หน้า + พจน์หลัง)2

              2.  x2 – 8x + 16 =   x2 – 2(4)x + 42

                                      =   (x – 4)2

ถ้าให้  x  เป็นพจน์หน้าและ  4  เป็นพจน์หลัง  จะเขียนความสัมพันธ์ได้ดังนี้
สูตรการแยกตัวประกอบ  
(พจน์หน้า)2 – 2(พจน์หน้า)(พจน์หลัง) + (พจน์หลัง)2 = (พจน์หน้า – พจน์หลัง)2

การแยกตัวประกอบของพหุนามด้วยทฤษฎีบทเศษเหลือ-ตัวประกอบ

หลักการคิดทฤษฎีบทเศษเหลือคือ การนำตัวหารมาตั้ง = 0 เช่น x -2 =0 จะได้ x = 2 จากนั้นนำไปแทนใน P(x) หากได้ P(x) = 0 แสดงว่าเศษเป็น 0 หรือหารลงตัวนั่นเอง

ตัวอย่าง    x – 3 หาร x2 – x -2 เหลือเศษเท่าไร

วิธีทำ   ให้  P(x)  = x2 – x -2

P(3)  = 32 – 3 -2 = 4

ดังนั้นเศษเท่ากับ 4

ตัวอย่าง  x + 3 หาร x2 -x -2 เศษเหลือเท่าไร

วิธีทำ    ให้ P(x) =   x2 -x -2

ดังนั้น x + 3 = x-(-3)

P(-3) = (-3)2 -(-3) -2

= 10

ดังนั้นเศษเท่ากับ 10

จทย์การแยกตัวประกอบพหุนามกำลังสอง-ผลต่างกำลังสอง

โจทย์การแยกตัวประกอบพหุนามกำลังสอง-ทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์

  1. จงแยกตัวประกอบ x2 + 6x + 8 โดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์

วิธีทำ  x2 + 6x + 8 = x2 + 6x + (62)2  –  (62)2 + 8

=  (x+ 62)2 – (62)2 + 8

= (x+3)2 – (3)2  + 8

= (x+3)2 – 9 + 8

= (x+3)2 – 1

= (x+3)2 – 12

= (x+3-1)(x+3+1)

= (x+2)(x+4)


  1. จงแยกตัวประกอบ  x2 – 7 x + 11 โดยการทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์

แบบฝึกหัด การแยกตัวประกอบของพหุนาม พร้อมเฉลย

  1. จงแยกตัวประกอบพหุนาม X 2 + 10x + 10 ดูวิธีการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ 

คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

การแยกตัวประกอบมีอะไรบ้าง

การแยกตัวประกอบมีหลายวิธีด้วยกัน เช่น การดึงตัวร่วม / การแยกเป็นสองวงเล็บ / ผลต่างกำลังสอง / ผลต่างกำลังสาม / ผลบวกกำลังสาม / การแยกตัวประกอบโดยการทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ / การเพิ่มลดพจน์กลาง / 4 พจน์จับคู่ให้เกิดวงเล็บร่วม / ทฤษฎีบทตัวประกอบ / ทฤษฎีเศษเหลือ  ซึ่งได้อธิบายไว้แล้วข้างต้น

สมบัติการแยกตัวประกอบ มีอะไรบ้าง

การแจกแจง ซึ่งใช้ในการดึงตัวร่วม รวมไปถึงการแยกตัวประกอบเป็นสองวงเล็บ

การแยกตัวประกอบมีกี่วิธี

การแยกตัวประกอบ มี 2 วิธีหลัก ๆ คือ การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสอง และ การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีมากกว่าสอง

การแยกตัวประกอบ สรุป

การแยกตัวประกอบ คือ การเขียนพหุนามในรูปการคูณของพหุนาม ซึ่งตัวประกอบแต่ละวงเล็บต้องมีดีกรีน้อยกว่าพหุนามเดิม  สามารถทำได้หลายวิธี ตามรูปแบบของพหุนามนั้น ๆ เช่น การดึงตัวร่วม / การทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ / การใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ เป็นต้น

การแยกตัวประกอบแม้จะมีหลายวิธี แต่หากน้อง ๆ ฝึกทำโจทย์อย่างสม่ำเสมอจะสามารถแยกได้เลยว่าแต่ละข้อควรใช้วิธีไหนถึงจะเหมาะสม พี่ ๆ อยากจะฝากสาระดี ๆ สรุปเนื้อหาย่อทุกวิชา พร้อมแบบฝึกหัดครบถ้วนแบบนี้ไว้ให้น้อง ๆ ได้หมั่นศึกษาและพัฒนาตัวเองอย่างต่อเนื่อง ไว้ในตัวช่วยของน้องนักเรียนทุกคน รวมถึงผู้ปกครองทุกท่านที่มีความตั้งใจจะช่วยลูก ๆ หลาน ๆ ในการพัฒนาด้านการเรียนนะคะ

บทความที่เกี่ยวข้อง
 เตรียมพร้อมเข้า ม.4  เนื้อหา ฟิสิกส์ ม 4 เทอม 1 เรียนอะไร
โพสต์เมื่อ :
เก็งแนวข้อสอบวิทยาศาสตร์ทั่วไป 9 วิชาสามัญฉบับพร้อมสอบ
โพสต์เมื่อ :
เนื้อหาวิทยาศาสตร์ ม. 3 หลักสูตรใหม่
โพสต์เมื่อ :
สรุปสูตรหาปริมาตรรูปเรขาคณิตสามมิติ พร้อมรูปคลี่ เข้าใจง่ายสุด ๆ
โพสต์เมื่อ :
สรุประบบสมการเชิงเส้น คณิตศาสตร์ ม.ต้น เข้าใจได้ด้วยตัวเอง อ่านจบ ทำโจทย์ได้แ...
โพสต์เมื่อ :
สรุปเนื้อหาตรรกศาสตร์ ม.4 
โพสต์เมื่อ :