สรุประบบสมการเชิงเส้น คณิตศาสตร์ ม.ต้น เข้าใจได้ด้วยตัวเอง อ่านจบ ทำโจทย์ได้แน่นอน

Home > เลข > สรุประบบสมการเชิงเส้น คณิตศาสตร์ ม.ต้น เข้าใจได้ด้วยตัวเอง อ่านจบ ทำโจทย์ได้แน่นอน
เขียนโดย :
โพสต์เมื่อ :

อ่านสรุปตรงนี้ได้เลย

สวัสดีค่า น้อง ๆ ที่น่ารักของเรา ขอต้อนรับสู่มุมสาระดี ๆ ของ ATHOME ที่นำมามอบให้น้อง ๆ กันอีกเช่นเคย ในวันนี้เรามาเอาใจน้อง ๆ ม.ต้น ที่กำลังเรียนเรื่องระบบสมการกันบ้าง รวมถึงน้อง ๆ ม.3 ที่กำลังเตรียมเก็บเนื้อหา ฟิตโจทย์เตรียมสอบเข้า ม.4 โรงเรียนดังก็สามารถเข้ามาอ่านได้เช่นกันน้า

สมการเส้นตรง คือ อะไร
สำคัญยังไงกับการเรียนคณิตศาสตร์ระดับมัธยม

สม การ คือ ประโยคที่แสดงความเท่ากันของจำนวน โดยบอกความเท่ากันด้วยเครื่องหมายเท่ากับ 

( = ) อาจจะมีตัวแปร หรือไม่มีตัวแปรก็ได้

ตัวอย่างเช่น
2x + 3 = 15    เป็นสมการที่ x เป็นตัวแปร
m / 5 + 10 = 25  เป็นสมการที่ m เป็นตัวแปร
25-12 = 13     เป็นสมการที่ไม่มีตัวแปร

สมการเชิงเส้น คือ สมการที่ตัวแปรมีกำลังเท่ากับ 1 จะมีกี่ตัวแปรก็จัดเป็นสมการเชิงเส้น

สม การ ประเภทนี้จะสามารถแสดงเป็น “เส้นตรง” 

รูปแบบสมการทั่วไป คือ y = mx + c

โดยที่
m = ความชันของเส้นตรง
c = ค่าคงที่

ตัวอย่างเช่น 
3a + 7 = 20  (สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว)

12a+b = 24  (สมการเชิงเส้นสองตัวแปร)

25a+12b+c = 120  (สมการเชิงเส้นสามตัวแปร)

*ทั้งหมดล้วนเป็นสมการเชิงเส้นด้วยกันทั้งสิ้น*

ซึ่งเรื่องสมการเชิงเส้นนั้นเป็นแก้การแก้สมการที่สามารถประยุกต์ใช้ได้ในโจทย์ปัญหาที่หลากหลาย และเป็นพื้นฐานที่สำคัญมาก ๆ ในการต่อยอดกับการคำนวณในทั้งพีชคณิตและเรขาคณิต ดังนั้นแล้วขอให้น้อง ๆ ตั้งใจเก็บพื้นฐานของบทนี้ให้แน่นแล้วจะสามารถใช้กับหลาย ๆ บทที่จะได้เรียนในระดับชั้นที่สูงขึ้นไปได้อย่างต่อเนื่องนะคะ

ความรู้พื้นฐาน สำหรับแก้สมการ

การแก้สมการคือ การหาค่าของตัวแปร  โดยอาจจะใช้วิธีการสุ่มหาค่า แต่ในสมการที่ซับซ้อนมากขึ้นนั้น
จะใช้สมบัติของการเท่ากันและสมบัติการแจกแจงมาช่วยหาคำตอบ

การแทนค่าตัวแปร

คือ การทดลองสุ่มค่าของตัวแปรในสมการ ถ้านำจำนวนใดมาแทนค่า แล้วทำให้สมการนั้นเป็นจริง
แสดงว่าจำนวนนั้นเป็นคำตอบของสมการ 

สมบัติของการเท่ากัน


1. สมบัติสมมาตร 
นิยาม  ถ้า a = b แล้ว b = a เมื่อ a และ b แทนจำนวนจริงใด ๆ 
ตัวอย่างการใช้ 
                          1. m + n = o  หรือ  o = m + n
                          2. 15 – x = 20x หรือ 20x = 15 – x

2. สมบัติถ่ายทอด
นิยาม  ถ้า a = b แล้ว b = c แล้ว a = c  เมื่อ a, b และ c แทนจำนวนจริงใด ๆ 
ตัวอย่างการใช้  
                          1. ถ้า a+2 = b  แล้ว a+2  = 8  สรุปได้ว่า b = 8
                          2. ถ้า k + 9 = 20  แล้ว 20 = 11+9  สรุปได้ว่า k + 9 = 11 + 9

3. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน
นิยาม ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c เมื่อ a, b และ c แทนจำนวนจริงใด ๆ 
ตัวอย่างการใช้
              1. ถ้า x+10 = 15  แล้ว  (x+10)+(-10) = 15+(-10)
              (นำ – 10 มา บวก ทั้งสองข้างของสมการ)
              2. ถ้า a – 120 = 230 แล้ว (a-120)+120 = 230+120
              (นำ 120 มาบวกทั้งสองข้างของสมการ)

4. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน
นิยาม   ถ้า a = b แล้ว ac = bc เมื่อ a, b และ c แทนจำนวนจริงใด ๆ 
ตัวอย่างการใช้
             ถ้า -15m = 60 แล้ว (1/-15)(-15) = 60(1/-15)
             นำ  (1/-15) มาคูณทั้งสองข้างของสมการ

สมบัติการแจกแจง

นิยาม   a(b+c) = ab + ac  เมื่อ a,b และ c แทนจำนวนจริงใด ๆ 

ตัวอย่างการใช้ 

  1. 4(2x + 3) = (4)(2x) + (4)(3)
  2.  -3(m+n) = -3(m)+ -3(n) 

วิธีการแก้สมการเบื้องต้น ใช้ได้กับสมการทุกชนิด

หลักการ คือ ต้องพยายามทำให้ตัวแปรหายไป ถ้ามีหลายตัวแปร ก็ทำให้หายไปทีละตัว จนเหลือเป็นสมการแค่ตัวแปรเดียว 

สมการตัวแปรเดียว  คือ อะไร

สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว คือ สมการที่เขียนได้ในรูปทั่วไป 

คือ   ax+b = 0 เมื่อ x เป็นตัวแปร a,b และ c เป็นค่าคงตัว โดย a  0 หรือจะสังเกตได้ง่าย ๆ คือ มีตัวแปรที่ไม่ทราบค่าเพียงตัวเดียว และเป็นดีกรี 1


ตัวอย่างการแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

จงหาคำตอบของสมการ 2x – 5 = 8
วิธีทำ   จากสมการ   2x – 5 = 8  
จะได้    2x – 5 + 5 = 8+5    
(นำ 5 ไปบวกทั้งสองข้างของสมการ) 2x = 13

จะได้   2x (1/2)  = 13 (½)   
(นำ ½ คูณ ทั้งสองข้างของสมการ) x = 6.5
นั่นคือ x = 6.5
ตอบ  x = 6.5

สมการสองตัวแปร คือ อะไร

สมการที่มีสองตัวแปร โดยมีค่า x และ y ทำให้สมการ Ax+By + C = 0 เป็นจริง เราเรียก x,y ว่า คำตอบของสมการ เรียก (x,y) ว่าคู่อันดับของคำตอบของสมการ

ตัวอย่างการแก้สมการ 2 ตัวแปร
จงแก้ระบบสมการ 2x – 3y = 5   ………….(1)
y – 3x  = -4    ………….(2)

วิธีทำ 2x – 3y = 5   ………….(1)
y – 3x  = -4   ………….(2)
จาก (2) จะได้y = 3x -4      ………….(3)

ใน (3) แทนใน (1) ได้
2x – 3 (3x-4)    =   5
2x – 9x + 12    =   5

จะได้ x = 1
แทนค่า x = 1 ใน (3) เพื่อหาค่า y
y = 3(1) – 4 
y = 3 -4
y = -1

จึงได้ (x,y) = (1, -1)

ตอบ (x,y) = (1, -1)

สมการสามตัวแปร คืออะไร

สมการสามตัวแปรจะมีลักษณะเป็นสมการเชิงเส้นเหมือนกับสมการสองตัวแปรแต่มีตัวแปรมากกว่าเท่านั้น แต่แน่นอนว่าหลักการหาค่าตัวแปรหรือคำตอบของสมการจะมีความซับซ้อนมากกว่า

ตัวอย่างการแก้สมการ 3 ตัวแปร
จงแก้ระบบสมการ
x + y + z =2
x + y – z = 4
x – 2y + z = 4

วิธีทำ 
x + y + z =2     ……….(1)
x + y – z = 4     ……….(2)
x – 2y + z = 4   ……….(3)

(1) – (2)
จะได้ 2z = -2
z   = -1
(3) – (1) จะได้   y = 2

แทนค่า  y = 2  และ z = -1 ลงใน (1)
จะได้  x = 1 
ตรวจคำตอบ
ตรวจคำตอบโดยนำ x = 1 , y = 2 , z = -1
แทนลงใน (2) และ (3)
ได้ค่าเป็นจริงทั้งสองสมการ
ตอบ คำตอบของระบบสมการคือ (1, 2, -1)

สมการเศษส่วน คือ อะไร

สมการที่มีตัวแปรติดอยู่ในเศษส่วน ซึ่งหลักการหาค่าตัวแปรคือเราต้องกำจัดส่วนออกก่อน เริ่มจากการหา ค.ร.น.ของส่วน แล้วนำไปคูณตลอดสมการ

วิธีการแก้สมการเศษส่วน

ตัวอย่าง

จงหาคำตอบของสมการ x / 2  +   x /3   = 30

หา ค.ร.น.​ของ 2 และ 3 ได้ 6

นำ 6 คูณตลอดทั้งสมการ ได้เป็น 6( x / 2 ) + 6(  x / 3 )  = 6(30)

จะได้     3x + 2x = 180

5x = 180

x = 36

ตอบ 36


แบบฝึกหัดประยุกต์เรื่อง สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว โจทย์เตรียมเข้าโรงเรียนชื่อดัง

  1. ผลบวกของจำนวนสองจำนวน คือ 14 ถ้าจำนวนหนึ่งน้อยกว่า อีกจำนวนหนึ่งอยู่ 40 จงหาจำนวนสองจำนวนนั้น 


วิธีทำ กำหนด ให้ x แทนจำนวนเต็มจำนวนหนึ่ง
อีกจำนวนน้อยกว่าจำนวนแรก 40
แทนเป็น x – 40
ผลบวกของทั้งสองจำนวนคือ 14

จะได้สมการเป็น 
x + (x-40) = 14
2x  =  54
x   = 27

ดังนั้น จำนวนเต็มแรกคือ 27
จำนวนเต็มที่สองคือ 27-40 = -13

  1. สามปีที่แล้วอายุของบุตรคิดเป็นหนึ่งในห้าของอายุของบิดา อีกห้าปีข้างหน้าบิดาจะมีอายุมากกว่าบุตร 25 ปี จงหาอายุปัจจุบันของบิดาและบุตร
วิธีทำ  กำหนด อายุบิดา = x  สามปีที่แล้ว
บุตรอายุ x/5 ปี

ดังนั้นอายุบุตรปัจจุบัน = x/5 + 3
ทำให้อีก 5 ปีข้างหน้า
อายุบิดา เท่ากับ x + 5 ปี  อายุบุตร เท่ากับ x/5 + 8 ปี

จะได้
(x+5)-(x/5 + 8) = 25
x = 35 

ถ้าอายุปัจจุบันบิดา คือ 35 ปี 
ดังนั้นอายุปัจจุบันลูกคือ 35/5  + 3 = 10
ตอบ  ลูกอายุปัจจุบัน 10 ปี

แบบฝึกหัดเรื่อง สมการเชิงเส้นสองตัวแปร โจทย์เตรียมเข้าโรงเรียนชื่อดัง

  1. ผลบวกของจำนวนสองจำนวนเท่ากับ 15 ผลต่างเท่ากับ 8
    (กำหนดให้ x เป็นจำนวนน้อยและ y เป็นจำนวนมาก)
วิธีทำ  กำหนดให้   
x    เป็นจำนวนน้อย
y    เป็นจำนวนมาก

ผลบวกของสองจำนวนเท่ากับ 15
จะได้
x + y = 15       ………..(1)

ผลต่างของสองจำนวนเท่ากับ 8
จะได้
y – x  = 8         …………(2)

แก้สมการ (1) และ (2) ได้

             (1) – (2) จะได้   2x = 7,  x = 7/2
แทน x = 7/2 ใน (1) จะได้ y = 23/2

ตอบ จำนวนมาก คือ 23/2 จำนวนน้อย คือ 7/2

จบลงไปแล้วนะคะน้อง ๆ ทุกคน เป็นยังไงกันบ้าง เรื่องสมการนี่น่าสนุกจริง ๆ เลยใช่ไหมล่ะคะ ทั้งความสนุกของหลักการคิด และหลักการแก้ปัญหา เรียนเรื่องนี้แล้วเหมือนได้สืบคดีหาตัวคนร้ายเลยใช่ไหมล่ะ ซึ่งหากได้เรียนในระดับที่สูงขึ้นไป สมการยังมีอีกมากมายนักที่ซับซ้อนกว่านี้ แต่ก่อนจะถึงช่วงเวลานั้น พี่ ๆ ขอแนะนำให้น้อง ๆ หมั่นทบทวนบทเรียนในวันนี้เพื่อให้ทำความเข้าใจได้อย่างดี เพื่อที่จะต่อยอดในอนาคตได้อย่างดีนั่นเอง

คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

สมการตัวแปรเดียว โจทย์

ส่วนมากมีทั้งโจทย์ทั่วไปเกี่ยวกับจำนวน และโจทย์ประยุกต์ เช่น โจทย์พายเรือ , โจทย์รถไฟ , โจทย์การผสมของ เป็นต้น

สมการสองตัวแปร โจทย์

ความจริงแล้วมีลักษณะมีเป็นโจทย์เหมือนสมการตัวแปรเดียว แต่ใช้หลักการคิดโดยกำหนดตัวแปรที่ต่างกันแทนสองสิ่งที่ต่างกันก่อนแก้สมการ

สมการตัวแปรเดียว สูตร

ใช้หลักการย้ายตัวเลขที่อยู่ห่างจากตัวแปรมากที่สุดออกไปฝั่งตรงข้ามก่อน

สมการสองตัวแปร สูตร

พยายามทำให้เลขสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปรเท่ากัน จากนั้นสามารถบวกหรือลบออกเพื่อหำจัดตัวแปรนั้น ๆ ไป เพื่อเปลี่ยนสมการให้เป็นระบบสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

สมการสามตัวแปร โจทย์ออกอะไรบ่อยสุด

โจทย์มักออกโจทย์ประยุกต์ได้เหมือนกับเชิงเส้นตัวแปรเดียวและเชิงเส้นสองตัวแปร นอก

สมการสามตัวแปร สูตรออกอะไรบ่อยสุด

การหาแบบเลขสัมประสิทธิ์เป็นเศษส่วน
(ให้หาค.ร.น.ตัวส่วน แล้วคูณตลอดสมการก่อน)

สมการตัวแปรเดียว กับ สมการสองตัวแปร ต่างกันยังไง

สมการสองตัวแปรการจะแก้ได้นั้นต้องมีสมการอย่างน้อย 2 สมการขึ้นไป 

สมการสองตัวแปร ปรับเป็นสมการตัวแปรเดียว ได้ไหม

แน่นอนว่าได้ อีกทั้งยังเป็นหลักการแก้สมการสองตัวแปรด้วย โดยสามารถใช้ได้ทั้งวิธีการแทนที่ ซึ่งคือการที่จัดรูปให้ x หรือ y = ค่าคงที่ จากนั้นนำไปใส่ในอีกสมการหนึ่ง หรือการกำจัดตัวแปรก็ได้เช่นกัน

บทความที่เกี่ยวข้อง
 เตรียมพร้อมเข้า ม.4  เนื้อหา ฟิสิกส์ ม 4 เทอม 1 เรียนอะไร
โพสต์เมื่อ :
เก็งแนวข้อสอบวิทยาศาสตร์ทั่วไป 9 วิชาสามัญฉบับพร้อมสอบ
โพสต์เมื่อ :
เนื้อหาวิทยาศาสตร์ ม. 3 หลักสูตรใหม่
โพสต์เมื่อ :
สรุปสูตรหาปริมาตรรูปเรขาคณิตสามมิติ พร้อมรูปคลี่ เข้าใจง่ายสุด ๆ
โพสต์เมื่อ :
สรุประบบสมการเชิงเส้น คณิตศาสตร์ ม.ต้น เข้าใจได้ด้วยตัวเอง อ่านจบ ทำโจทย์ได้แ...
โพสต์เมื่อ :
สรุปเนื้อหาตรรกศาสตร์ ม.4 
โพสต์เมื่อ :